du binôme

Pour obtenir la différentielle d'une puissance, commençons par établir la formule du binôme dont l’emploi est fréquent. 4°. — Il s’agit de calculer (a + b)". Un calcul direct donne les formules :

(a+ b}'—a +, (a+ b} — a° + 2ab + b*, (a b}— a + 3a°b + 3ab° + b’, (a b} = at ka%b Ga*b° + kab° + bf,

et ainsi de suite. Plusieurs constatations sont immédiates.

& “4 RS à

Ph

A Sd SO A A ñ Re Re ir hs RS ARTE RC x ' £ \ è ve + RE EP

rte

D'abord le développement de (2—-b}" contient m4 termes. Ensuite la somme des exposants de a et de h dans tous les termes du développement est égale à m. Enfin les coefficients également distants des extrêmes sont égaux.

Ces simples remarques évitent beaucoup d'erreurs.

Les formules précédentes rentrent dans la formule plus générale :

(ab an amp + dire a" BR. (0

le développement doit être continué jusqu’à ce que le nombre des termes soit m1, ou, ce qui revient au même, jusqu’à ce que le coefficient s’annule.

2. — Cette constatation n'est pas une preuve; rien ne dit que la formule valable pour m—4, le sera pour m—5. Prouvons-le à l’aide du raisonnement général qui sert à établir la légitimité d’une formule quelconque de récurrence. Démontrons que si la formule vaut pour la puissance m, elle vaut encore pour la puissance m<+1.