Considérons deux termes consécutifs quelconques de la

formule donnant (2 b)"

m(m—1)...(m—n—1) gs n +2!

‘On écrit pour abréger : 1.2.3 ... (n+1)—=n+1!, et on lit factorielle n+1. | Par: exemple. : 31=1.2.3—6: 3!14—41.

Quand nous multiplierons par ab le développement de (a+ b}* pour obtenir (a b}"*1, le terme en a"="-!}"*? proviendra de la multiplication par » du premier terme écrit ci-dessus et de la multiplication par a du second. On vérifiera que seuls ils

peuvent intervenir dans la production d'un terme en "="! b"+?. Le coefficient de ce terme est la somme des coefficients, soit :

m(m—1)...(m—n) l m—n—1l\ (m+}tf)m(m—1)...(m—n)

ne: n—+1! + n + 2 je n +2!

qui est précisément le coefficient de 24”"-"-1}"*? dans le développement de (a+ b)"*1 au moyen de la formule (1) appliquée à

l'exposant m1. Ce qui légitime cette formule. #. — Appliquons à un cas particulier. Soit :

(a + b}t = at + Lab + 6a?b? LE Labs LE bs.

“Considérons les deux termes : Lab + 6a?b?.

a" TS TTPA + 1

ass pat 2

Quand nous multiplions par ab, le terme en a°h? du déve-

k 5 Lost ei 5. a de la épis de ab par b et de a°*h° par a. Nous aurons donc dans (24-hb} le terme :

(4 + 6)ab? — 10h.