Podaires

1°. — La figure invariable mobile peut être formée de deux droites rectangulaires assujetties : l’une à rester tangente à une courbe £, l’autre à passer par un point fixe A. Le lieu du point [ s'appelle podaire de la courbe B par rapport au point A. On peut considérer la podaire de la courbe & comme le lieu des perpendiculaires abaissées du point A sur les tangentes à la courbe £.

Menons les normales AC à AT, BC à BI; C est le centre instan-

dE GÉNÉRA ie SUR LES COURBES tané de rotation, Mais la figure AIBC est un toc D'où la conséquence : la normale en un point de la trajectoire du point 1 s'obtient en joignant ce point au milieu M de la droite qui joint le point fixe À au point actuel de tangence B.

Nous reviendrons plus loin sur les propriétés des podaires.

Fig. 444.

ee On peut généraliser la définition en supposant que l'angle E BIA cesse d’être droit.

146. Roulement sans glissement d’une courbe du plan mobile sur une courbe du plan fixe.

1°. — Le mouvement du plan mobile peut être défini par le roulement sans glissement ($ 135) d’une courbe [' de ce plan sur une courbe C du plan fixe.

Nous avons déjà dit ($ 100) qu'il se produit à chaque instant une rotation élémentaire autour du point de contact actuel qui est le centre instantané de rotation. La courbe C du plan fixe est donc le lieu des centres instantanés; la courbe [' est le lieu des points du plan mobile qui coïncident successivement avec le centre instantané (K 139).

On obtient les normales aux trajectoires des points du plan mobile en les joignant au point de tangence actuel des courbes roulantes Cet [".

2%. — Il résulte de ce qui précède que tout mouvement d'un plan mobile sur un plan fixe est ramenable au roulement de deux courbes tracées respectivement dans ces plans ; autrement dit, peut être considéré comme épicycloïdal, le mot étant pris dans l'acception la plus large. On cherchera sur le plan fixe le lieu C des centres instan- tanés, et sur le plan mobile le lieu F du point qui pour chaque position du plan mobile coïncide avec le centre instantané.

Cours de Mathématiques générales. — H, BOUASSE. 12

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Nous avons déjà trouvé (S 140) un exemple de cette équivalence. ‘On démontrera par un facile raisonnement géométrique que quand un cercle roule intérieurement sur un cercle de rayon double, -chacun de ces points décrit un diamètre (voir $ 102, la démonstration analytique).

Le dispositif est connu sous le nom d’engrenage de Lahire.

9. — À propos des mouvements épicycloidaux généraux, nous ferons une remarque curieuse. Nous savons que l’une des courbes C ou l° peut être infinie : c'est ce qui a lieu, par exemple, dans le cas -de la cycloïde (100). Les deux courbes peuvent être l’une et l’autre infinies, et, comme cas particulier, posséder des asymptotes. La trajectoire d’un point du plan mobile peut alors devenir une courbe tout entière à distance finie; elle peut aussi devenir périodique.

La manière dont le roulement ne cesse pas d’être continu, malgré la présence des asymptotes, est intéressante à étudier de près. Elle ne se comprend'bhien qu’en effectuant réellement l'opération. Nous conseillons donc au lecteur de faire rouler l'une sur l’autre, par exemple, deux hyperboles équilatères égales et de chercher la trajectoire d'un point de l’axe réel de l’hyperbole mobile. Il trouvera une sorte de haricot.

Nous rencontrerons, au Chapitre XXI, deux exemples simples des cas ici énumérés (roulement d'une parabole et ape hyperbole sur une droite : trajectoire des foyers).

Nous conseillons au lecteur de reprendre le problème de la biellemanivelle ($ 141) et de construire les deux courbes C et l". La forme de la première est indiquée dans la figure 107. Nous lui laissons le plaisir de déterminer la forme de la seconde. Il verra le mouvement si simple bielle-manivelle obtenu par le roulement de deux courbes infinies dont la seconde possède deux asymptotes distinctes et plusieurs singularités.

Podaires.