Définition des podaires

1°. — Le sommet d'un angle droit glisse sur une courbe ABCD (fig. 115), pendant qu'un de ses côtés passe par le point O (pôle).

L'autre côté (dit côté langent) enveloppe une courbe BC’. La première courbe est la podaire de la seconde.

La podaire d’une courbe est, si l’on veut, le lieu des pieds C des perpendiculaires OGC abaissées du point fixe O sur la tangente C'C à la courbe BC" ($ 145).

2. — La courbe donnée et sa podaire sont tangentes pour tous les points de l’une ou de l’autre courbes qui sont à des distancés

GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES 179 du point O maximums ou minimums. Car le pied de la perpendiculaire abaissée du point O sur la tangente coïncide alors avec le point de tangence.

3. — Par le pôle O, menons la tangente OD à la podaire. Quand le point D se déplace‘très peu, la droite OD conserve une direction invariable; donc le côté tangent DD’ conserve lui-même une direction invariable. Deux positions voisines de ce côté se coupent à l'infini :

DD’ est une asymptote de la courbe BC.

A mesure que C se rap- , proche de D, la droite CC a coupe DD’ de plus en plus loin, mais toujours du côté D’. Aussitôt que C dépasse D, l'intersection a lieu du côté opposé à D’. Nous supposons que OD est une tangente ordinaire; il n’en est plus de même, si c'est une tangente d'inflexion.

4. — Admettons qu’on puisse mener du pôle O une tangente O0 à la courbe BC’ (fig. 116).

Le point de la podaire qui correspond à O° est évidemment le pôle O. Donc la podaire passe autant de fois par le pôle que du pôle on peut mener de tangentes à la courbe.

On vérifiera immédiatement que les tangentes à la podaire au point O sont normales au vecteur O0

correspondant.

5°. — Le lecteur voudra

Fig. 116.

bien méditer sur la comparaison des cas 3° et #°. Quand une courbe passe par un point O, il est clair que de ce point on peut lui mener une tangente. Mais les cordes voisines de cette tangente se conduisent tout autrement que les cordes voisines de la tangente OD qu'on mène à la courbe d’un point O qui lui est extérieur.

Quand D se déplace de ds sur la podaire, la direction de la droite OD ne varie que d'un infiniment petit du second ordre, si dans sa position moyenne elle est tangente à la courbe. Au contraire, la

direction d’une corde qui va d’un point O d’une courbe à un point voisin, varie d'un infiniment petit du même ordre que le déplacement ds du point, bien que la corde devienne une tangente pour ds—0.