AQ-2R, 0D

Fig. 118.

qui est précisément l'équation du $ 144. ne La figure 119 représente celle des formes du limaçon qui possède Le un point double.

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Fig. 119.

%, — Exprimons le rayon vecteur p de la podaire en fonction du

rayon dar r du cercle. Dans les triangles oies IAD et BAQ, on a :

rè— p°—]ID?— AB°—4R?— (r,—p}, — 2pr, —4R°?— r;°, rdr =r;dp, dp:rdr=1:r, conformément au résultat du $ 148. En effet, r, est le rayon de courbure (ici constant) de la courbe donnée.

150. Podaire d’une ellipse par rapport à son centre. 1°. — Prenons l’ellipse (fig. 120) sous les formes équivalentes

le CR COST. n —= b sin u.

Les équations de la tangente AP en un point À, et de la nor-

male OP abaissée de l’origine O sur la tangente, sont (K 112) : £ . £ mtpl, pr 0. (1) Le système x, y, qui satisfait à ces équations, représente les coordonnées du point P.

Élevons les équations (1) au carré; additionnons membre à membre; il vient :

cos” u

rss ; & . dE sin? u 7 p=O0P pin ss [+ ei:l a? ee p° | Exprimons u en fonction de 6. Écrivons que la pente de la droite

OP est tg 0 :

IR A TE «ET BI A et Le

m0: Cou... 1 b?sin?0 a cos*0 a?*cos* 6 + b?sin?0 D'où enfin : p? = a? cos? 6 +- b? sin? 6. (2) Telle est l'équation de la podaire en coordonnées polaires p, 0

2%, __ Cette podaire est utilisée à chaque instant en Optique ondu-

latoire. En effet, quand une vibration transversale elliptique tombe

sur un nicol, la vibration rectiligne qui passe, a pour amplitude la

longueur du rayon vecteur de la podaire parallèlement à la section

principale du nicol (fig. 121).

Partant de là, on retrouve $ l'équation (2) plus rapidement. M Soit en effet :

E—acosu, n—bsinu, (3) les vibrations dirigées suivant les axes, vibrations qui cons- Ô tituent l’ellipse par leur résultante; la variable u est de la forme wf. Considérons une droite Of! faisant l'angle 6 avec Ox. Projetons les vibra- Fig. 121.

tions (3) sur cette droite, et

composons ces projections en une résultante unique. Faisons de

même pour une droite On’ à angle droit de la première. On trouve:

£'— a cos 6 cos u + b sin 0 sin u — p cos (u — :),

1 —= — a sin 6 cos u + b cos 6 sin u —p' sin (u

8) Identifions ; il vient aisément :

p°= a cos? 6 + b*sin?6, p?— a? sin? + b? cos? 6.

3. -— On a : p+p°=a + b?; (4) la somme des carrés des rayons vecteurs rectangulaires de la podaire est constante.

L'interprétation optique de cette proposition est fondamentale. L'énergie potentielle ou cinétique d'une vibration rectiligne est proportionnelle au carré de son amplitude. L’équation (4) nous apprend qu'on peut décomposer arbitrairement la vibration elliptique transversale en composantes rectilignes rectangulaires, sans que l'énergie totale soit modifiée.

4°. — L'équation de la podaire en coordonnées cartésiennes est :

CENT ENT (5 Nous savons déjà ($ 147) qu’elle est tangente à l’ellipse aux extré-

mités du grand axe et du petit axe. Cherchons quelles sont les.

ordonnées maxima. Différentions (5) :

(2x? 24°? — a°)xdæ + (2x? + 2° — b)ydy — 0.

Les maximums ou minimums de y correspondent à la condition.

dy : de = 0; 0, ay a : 2.

ue

NEA

| | centre est 0 et le rayon a:V2—0,71a. Pour qu'ils existent, il

faut que ce cercle coupe effectivement la podaire. Comme celle- -ci est extérieure à l'ellipse, il faut qu’il coupe l'ellipse. D'où la condition :

Era 27? ou :

La valeur de y pour les maximums et minimums est : | ni |

| EANE =

La condition a° < 2h}? équivaut à écrire : ab.

Elle exprime que la développée de l'ellipse est tout entière intérieure à l’ellipse {K 116), comme on le verra en posant (fig. 88) :