URS DÉRIVÉES

M: Eure ne

En effet, l'aire du cercle entier est +4? pour un are 2r; l'aire du secteur par unité d'arc est ra: 2r—4a?:2; l'aire du secteur dont l'arc est CD:a2, a la valeur ci-dessus écrite. D'où :

: a? SRE:

aire OCD — j arcsin,

L'aire du triangle ODG est :

0G X DG : 2=xy : 2—(xVat— x) : 2.

PL Fe 2 En définitive : ‘aire OCDG — © Va 5 : + arc sin 2%, — Voilà pour le cercle. On sait que pour passer à l'ellipse, 1l

suffit de projeter orthogonalement sur un plan II faisant avec le plan Il du cercle un angle dont le

cosinus est b:a. Autrement dit, il le suffit de multiplier par ba (( 107). + 0 D On a donc : ra a: 48 H O7 LE L a ab SD —— arc sin —.

e arc sin — ; l F ” :

En particulier, l'aire du quadrant ] /

s'obtient en posant FRE Fig. 131.

D'où : pour le cercle, xa°:4#; pour l'ellipse, 7ab : 4. 3°. — Reprenons le calcul par intégration. On a :

pour le cercle, y — Va’—z?; pour l’ellipse, y = ya 2.

Les ordonnées de l’ellipse sont les ordonnées du cercle multipliées par ba; les limites d'intégration sont les mêmes : les aires des trapèzes curvilignes sont, par suite, dans le rapport D : a.

Nous pouvons donc nous borner au cas du cercle.

Il s’agit d'obtenir l'intégrale :

ES 4 VE dx.

Intégrons par parties (K 158) :

xVa—xt\ Vat—x d cam ii: FE a a*dx d D] re ) — OT — Va — 2 ya — L* OT — à

D'où ($ 153) : É D pen dx — Êitee . ]+ be :

Enfin ($ 56) : lv de nu —.

Pour effectuer la dernière intégration indiquée, on écrira ( 138) :

a) Vi)