Moment statique d’une aire plane : axe neutre
z 1°. — | L'aire limitée par la courbe fermée
ABCDA est ($ 154) :
FA SE L'yd— f° y'dæ
Z nous écrivons pour abré-
© Ê QG
Fig. 132. per 0 [ydr.
Ja Ceci posé, on ‘appelle moment statique de l'aire par rapport à la droite Ox (fig. 132) l'intégrale :
Me f. y sf vas [9 dx.
%, __ Cherchons comment varie le moment statique quand on déplace parallèlement à lui-même l'axe Ox par rapport auquel il est pris. Transportons-le en O'x' distant de a. Le nouveau moment statique M' est :
A A à A MS f gate Ma [ne + 5 f dx.
La dernière intégrale est nulle, car elle vaut par définition :
[ar [art
ns | FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES Il reste : M'=—M—a8.
Il est donc toujours possible de trouver une droite telle qu'on ait : ; NM 0, M — a.
On l'appelle axe neutre. Le moment statique par rapport à une droite quelconque est égal au produit de l’aire S par la distance de cette droite à l'axe neutre qui lui est parallèle.
3°. — À chaque direction correspond un axe neutre. On démontre que fous ces axes passent par un même point quiest le centre de gravilé de l’aire. Mais cette proposition nous étant inutile ici, je n'insiste pas (voir Mécanique).
Æ#. — On ramène le calcul des moments statiques au calcul d’une aire. Il suffit de tracer | une courbe dont les y Je
ordonnées soient égales à la moitié du carré des ordonnées à 4 de la courbe proposée.
Il y a, dans ces cal-
culs d’aire, des questions de signes avec 0 lesquelles il faut que
le lecteur se famiharise.
Prenons comme Fig. 132.
exemple simple le cas d'un triangle AKC; il est placé de manière que Oæx soit un axe neutre. Quand on parcourt le triangle dans le sens des flèches, toute l'aire est à la droite du promeneur : elle est donc entièrement positive (fig. 133).
Construisons la courbe dont les ordonnées sont égales aux carrés des ordonnées de la première. Nous obtenons des arcs de parabole et une droite. Parcourons la courbe dans le sens des flèches, sens imposé par le sens dans lequel on parcourait le triangle. Nous trouvons une aire positive B2FB et une aire négative BFe<yB. Elles sont égales dans le cas de la figure 133.
