Moment d'inertie d’une aire plane
1°. — On appelle moment d'inertie d'une aire plane par rapport à Ox l'intégrale :
si T4 “a 1=3 f pas f pue [| y'dæ.
A To T0
Cherchons comment varie le moment d'inertie quand on déplace la
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droite Ox parallèlement à elle-même. On a par rapport à O'r':
= gas ta faite flyer far
La dernière intégrale est nulle. Il reste :
V—I—2aM + &S —1I— 24M — às.
La relation se simplifie quand O'x' est are neutre; M'—0,. Il reste : = +es.
Le moment d'inertie I par rapport à une droite quelconque est égal au moment d'inertie [par rapport à l’axe neutre parallèle à cette droite, plus le produit de l’aire par le carré de la distance des deux droites.
De tous les moments d'inertie par rapport à des droites parallèles, le moment d'inertie par rapport à l'axe neutre est minimum.
On généralise tous ces théorèmes en Mécanique.
2. — On ramène le calcul des moments d'inertie au calcul d'une aire. [1 suffit de tracer une courbe dont les ordonnées soient égales au tiers du cube des ordonnées de la courbe proposée.
La considération des moments statiques et des moments d'inertie des aires. planes est fondamentale dans la théorie de la Résistance des matériaux, dans les Constructions navales, etc. etc.
Planimètres.
Détermination des aires. Intégraphes.
Nous étudions dans les paragraphes suivants les méthodes qui permettent de calculer les aires, de les mesurer mécaniquement, de déterminer mécaniquement les moments statiques et les moments d'inertie, d'obtenir mécaniquement la courbe intégrale.
Signalons d'abord la méthode très précise qui consiste à tracer la courbe y—f{x), à grande échelle sur du carton quadrillé épais, à découper le graphique suivant l’axe des abscisses, la courbe et un certain nombre d’ordonnées, et à peser les morceaux ainsi obtenus. L'industrie fournit du papier assez homogène pour que les poids soient sensiblement proportionnels aux aires.
165, Formule de Poncelet.
Divisons le segment O0" (aux extrémités duquel sont les ordonnées qui limitent l'aire à évaluer) en 2n parties égales, de grandeur A. Calculons ou mesurons sur notre graphique les 2r—+1 ordonnées
orrespondantes : 6, Yi, +. Yon
4 NE ne ti 1 | d F RS 1e RE Re Re 4 Le Eh MOREL HR D DRE FO PARA AN AE PE Bee SO Cette à ; RE T Ve rs D PTE M FA. ANT
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FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES 208 1°. — Aux extrémités B, C, D, .…, des ordonnées impaires,
menons des tangentes à la courbe. Les n trapèzes ainsi formés ont respectivement pour aires :
2hy,, 2hy;, 2Ry;, .…, La somme de ces aires s'écrit :
Remarquons qu'il est inutile de mener effectivement les tangentes. Tous les trapèzes passant par le point B - C | (par exemple), et li- rest mités aux ordonnées re Yo et V2, ont même aire.
Sinousconsidérons en particulier celui u
qui est formé par la | y Z PA PA 72 7 tangente, c'esten vue 4 é A
de déterminer plus — "s ÿ loin une limite de Pig. 488:
l'erreur commise.
2. — Traçons les cordes joignant les extrémités des ordonnées
précédemment utilisées. Nous obtenons ainsi 7—1 trapèzes; la somme de leurs aires vaut :
2h np . us ER SRE R(y1 + Yan—1)
Ajoutons la somme des aires des deux trapèzes terminaux dont l'un est représenté en OABD. Elle vaut :
LA (o + 9) + Ryan + Yan)] : 2.
D'où : S=S +5 [(Yo + Yan) — (gi + Yan):
Si nous avons pris soin d'opérer sur un arc de courbe dont la courbure conserve le-même signe en tous ses points, l'aire à évaluer est comprise entre les deux aires S, et S,. Nous pouvons aisément déterminer une limite de l'erreur: elle est :
L [go — g2) + (yon — Yan) |:
Le lecteur trouvera aisément une représentation graphique de cette quantité.
On pourra prendre pour valeur de l'aire la moyenne (S, +5,) : 2.
204 Lots COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES
166. Formule de Simpson. | 1°. — Par trois points d’abscisses équidistantes 0,h, 2h, et
d'ordonnées 3, 3,7", faisons passer un arc de parabole ($ 156): : $ y —= a + bx + cr?. (1) Les coefficients 4, b, c, sont déterminés par les conditions : za, z —a+bh+ ch, 3" —a+2bh + 4che.
L'aire limitée par la parabole (1) est :
ef ydo=| a+ += nu [3a L 3bhL Ach°]
Exprimons-la en fonction de z, z', 3". On trouve aisément :
30 Ra ra h(z + 4z! +- z").
2. — La méthode de Simpson revient à diviser le segment O0 en 2n parties et à remplacer par des arcs de paraboles les n ares que déterminent les ordonnées paires.
Les aires limitées par ces paraboles ont pour expressions
(R:3)(yo+kyiHys), (h:38)(y:+kys Huy),
On trouve immédiatement pour leur somme :
2h 1 | SG | La + 2 Lyon — 5 (yo Van)
REMARQUE I
Si la courbe présente un point d'inflexion, on ne peut évidemment pas l’assimiler à un arc de parabole passant par ce point. La méthode précédente n'est applicable que si le point d’inflexion se trouve justement sur une ordonnée paire, c'est-à-dire au point d’aboutissement de deux arcs appartenant à des paraboles différentes. On sera généralement conduit à diviser l’aire en deux parties séparées par l'ordonnée du point d'inflexion, et à les évaluer séparément.
On peut encore généraliser la méthode de Simpson, et utiliser un arc de parabole cubique ($ 156; voir aussi K 172).
REMARQUE Il.
S1 les ordonnées sont fournies par l’expérience, elles ne sont généralement pas équidistantes. On'peut procéder alors de deux manières.
1°. — On détermine une courbe passant au mieux ($ 263) par les points expérimentaux; elle permet de calculer des ordonnées équidistantes.
2%. — Avec un pistolet, on trace au jugé une courbe régulière
entre les points déterminés par l'expérience; on mesure sur le graphique les ordonnées équidistantes. Ordinairement la seconde méthode, plus grossière, est largement suffisante. Mais on n’empêchera pas les expérimentateurs de s’exagérer la précision de leurs expériences.
Fa FO, mal EE X
