AR LEURS DÉRIVÉES
Ce merveilleux appareil, de construction simple et de grande précision, a une théorie assez délicate, mais qui vaut la peine d'être
approfondie (fig. 135).
Il est destiné à donner l’aire limitée par une courbe fermée S. Il se compose de deux tiges OA, AB, articulées en A; OA porte en O
0 S > 1 es ! 6 ÿ A « (l :
> [l NÉ L » ! l NE 5 \ j , ) !
» re !
Ar * RE , \ / Ai / , VA 1 V (2 \ ré 1/ —— s B P ? C 8 ‘4 / / L | . :
/ LA A ; Le ) / F. s” / X F. À.
‘ Ÿ p ”. FL, AFS f ”:
Fig. 135.
une pointe eflilée qu'on plante dans le papier; AB porte en B une
pointe mousse avec laquelle on suit le contour S. Le prolongement de AB sert d’axe à une roulette R qui appuie
sur le papier et tourne quand B se déplace. Il s'agit de montrer que
la rotation de la rouletteest proportionnelle à l’aire S quand B fait un tour complet. Klle est mesurée à l’aide d’une graduation tracée sur la jante de la roulette;: un totalisateur donne le nombre de tours.
1°. — Tout point du plan accessible à la pointe B est repéré par les deux coordonnées 6 et %. L'angle 6 est mesuré à partir d'une droite fixe OX quel-
Ce
! / ! / B / 1 / h dy \ / %, ! / !
! / ! / Li / A) | / / æ, \W, ay A Fig. 136.
conque supposée tracée sur le papier; 4 est l'angle des tiges OA, AB. Soit y invariable et 6 variable. Pour chaque valeur de 4, B décrit
DR LS RS PEER ne à ON GENRE de +: LÉ ENE e MOTS SS E e 3 R Én CÉS Du ne “ Ds CH a de sr À Lx Tru RTS ELA en Le RENE SU, Emo ANA T der AE NC ET ON ee Eee RD A dr NN LE UN SE rs
une circonférence & de centre O; l'ensemble de ces courbes constitue le premier faisceau de lignes de repère.
Soit 4 variable et 6 constant. Pour chaque valeur de 4, B décrit une circonférence + de rayon constant et de centre A, A’, ...; leur ensemble constitue le second faisceau de lignes de repère. La figure 136 montre deux lignes 6o,, 5, du premier faisceau, deux lignes +,, r;, du second.
D, — Posons : OA—a, AB—b, AR—c, PR—p; P est le pied de la perpendiculaire abaissée de O sur AB; le
point R est celui où le plan de symétrie de la roulette coupe l'axe autour duquel elle tourne. On a:
OB—a—(p+c) +[b+(p+c)f.
Pour une autre valeur 4, de l'angle 4, on a :
OBi— a° — (P mA Fa ee 1 AE JR D c)f.
Retranchons : OB— OB°—22(p, — p).
3. — L’angle restant invariable, augmentons 6 de d6. Le point R |
décrit un arc de circonférence RR, de centre O, de rayon gq, de longueur RR,—gdb.
La composante RI de ce déplacement normale à AB est : RI— gd8 cos ORP — qd6(p : g) — pdf.
Elle est seule utile pour faire tourner la roulette; la composante parallèle à AB ne produit qu un glissement latéral de la jante sur le
papier. Telle est l'hypothèse fondamentale sur laquelle repose toute la théorie. Soit r le rayon de la roulette; l'angle dont elle tourne est :
a = pdt 4
4. — Considérons (fig. 136) le parallélogramme curviligne infiniment petit formé par les quatre courbes 6,, &, Ti, %. Évaluons son aire :
dS — aire BB,C.C— secteur Oy+, — secteur OGC, — (0%; — OCi)d8 : 2. D'après le 2° : dS—=(p, — p)bds.
Évaluons la rotation de la roulette, quand la pointe mousse décrit
le pourtour du parallélogramme.
Pendant les parcours égaux et de sens inverses B,C, et CB, la roulette tourne de deux angles égaux et de sens contraires.
Restent les parcours BB, et GC pour lesquels les relations sont :
dO: do d0 CR LR à OH He OP A UN D Me +
D'où : : dS — br — à).
nt dut Nid. 6 Le
CTP CT à
ER RE e.
SI
L’aire du parallélogramme est proportionnelle à la rotation totale de la roulette.
5°. — Pour parfaire la démonstration, il suffit de remarquer que l'aire à mesurer peut être décomposée, au moyen des faisceaux 5 et 7, en une série de petits parallélogrammes à chacun desquels la théorie précédente est applicable. On ne laisse en dehors de cette décomposition que des triangles dont la somme est un infiniment petit. Il est inutile bien évidemment de parcourir les lignes de division, puisqu'elles le seraient chacune deux fois en sens contraires, ce qui amènerait pour la roulette deux rotations égales et de sens contraires : leur somme disparaîtrait dans la rotation totale. Il suflit donc de parcourir la courbe limite.
REMARQUE I. — Pour étalonner l'appareil, on mesure une aire de forme simple, un carré par exemple, dont on calcule directement la surface.
Remarque II. — Opérons sur des cercles de centre O (4 invariable, 3°). La rotation de la roulette pour un tour complet est 2xp : r. Il existe donc un cercle [' pour lequel la rotation est nulle. Son rayon est donné par la condition :
PR=D=0, C— Va? + b + 2bc.
Pour les cercles de rayons plus grands, la rotation de la roulette est dans un sens; elle est du sens contraire pour les cercles de rayons plus petits. |
REMARQUE IT. — 11 résulte de là que si le point fixe O est à l’intérieur de la surface à mesurer (ce qui n'arrive que si la surface est très grande), on doit ajouter à l'aire obtenue l'aire du cercle l°.
