Planimètre linéaire
1°. — Le planimètre linéaire se compose d’un chariot monté sur deux galets G qui sont guidés par une rainure rectiligne XX creusée dans une barre lourde et épaisse. Le point À décrit une droite Ox parallèle à la rainure; sa position est repérée par la distance x —OA.
Le bras AB qui porte la roulette tourne autour du point A. Sa direction est repérée par l’angle 4 qu'il fait avec Ox. En B est fixée la pointe mousse avec laquelle on suit le pourtour de la surface dont on veut déterminer l'aire. L'appareil est équilibré par rapport aux galets au moyen d'un contrepoids non représenté. On a :
y = b sin d. (1) Quand le point A se déplace, l'angle Ÿ restant invariable, le point B décrit une droite dont la position dépend de 4 d'après la relation (1). L'ensemble de ces droites constitue le faisceau 6.
Quand le point À reste fixe, B décrit un cercle de centre A. L'ensemble de ces cercles égaux constitue le faisceau +.
%%, — L’aire du parallélogramme BCC.,B, est : dS — BC . CC, . sin CC,B,— b . dé . dx . cos.
Forçons la pointe mousse à suivre son pourtour. Pour les côtés BC, C,B,, les rotations de la roulette sont évidemment égales et de sens contraires. Dans le parcours BB, pour
G G Xe Fr AE nl +. 7 [ r< 5 | ; LL Il ras x es Y VER LS is Re EP NT REG 75e \ k \ } \ ù Ÿ \B À \ RUN RÉ NT UE L SA DE OR a EVE JR \ \ \ \ é BAT UN detre SET SE et ARS RNA ES Se A LT man | ZT 1 | | } 0 R D C J 1 ; l ) / / / / / / / fi, / / / / / / À / 4 / 4 / d "é ve é / / / #6: 5 / Fig. 137.
lequel Ÿ est constant, la rotation de la roulette est proportionnelle à la composante B,D du déplacement normale à la tige AB. On a :
B,D — dx . sin 9.
Soit & la rotation de la roulette :
sin Fe Drome r
dx
Pour le parcours CC,, la rotation (de sens contraire) est donnée par la même formule dans laquelle on remplace 4 par 4 + dy. On a donc pour la différence des rotations, par suite pour la rotation totale dans le parcours complet BCC,B,B (au signe près) :
po 0 PP db d'où :-dS=#r de.
Et 2 Reprenant le raisonnement 5° du paragraphe précédent, on conclut:
S —= bra.
: est la rotation totale de la roulette quand la pointe mousse décrit le pourtour de l'aire à mesurer.
3°. — Comme on le voit, la théorie du planimètre linéaire est plus simple que celle du planimètre polaire; l'appareil, malheureusement plus cher, est plus précis. Mais son grand avantage est de permettre, grâce à une légère complication mécanique, de mesurer
les moments statiques, les moments d'inertie, d'une manière générale toutes les intégrales de la forme :
l n 7 fre N
169. Mesure mécanique des moments statiques et des moments d'inertie.
Nous engageons le lecteur à passer ce paragraphe; il y reviendra avec plus de profit lorsqu'il connaîtra la définition des intégrales doubles (K$ 306 et suivants).
1°. — En définitive, il résulte du paragraphe précédent que la rotation de la roulette, pendant que la pointe mousse décrit dans le même sens tous les petits parallélogrammes curvilignes, est :
Li ] L ff tacus, [fa
en vertu de la relation :
y—=bsind, dy = b cos Ÿ . dy.
On a le même résultat en ne décrivant que le pourtour extérieur, car les chemins intérieurs sont parcourus deux fois en sens inverses.
2. — Supposons maintenant que la roulette R soit montée sur une tige qui tourne autour du point À et fait avec Ox 4
un angle y lié mécaniquement à l’angle y (fig. 138).
Le raisonnement 9? du paragraphe précédent nous apprend que la rotation de la roulette pour le parcours
BCC,B,B est :
‘Il faut en effet projeter le déplacement élémentaire BB, non plus sur AB, mais sur le prolongement de AR.
Quand la pointe décrit le pourtour extérieur de l'aire, la rotation totale de la roulette est :
a+ ff a. cos : = ff aainr Le La . dx.
Cours de Mathématiques générales. — H. BOUASSE.
Fig. 438.
PR QUE ie ARE EN et dE 0 0 2 EL à EE Bat US PNNCE 7 En à LL LÉ TEA di) CUS MES MR RE US sn à QU US: Ÿ- re SV ae PP OU AR Gr ie CNP RRES DS RENE PS NE ETS 24 vd RS RER REA UE EN RE AP D TS RS RE RE TE da < : M : : ; RASE V ONE RS PRE A Er PTS FVE RES à à : : + ’ DR ME Su LS TER er MR Sn PE A MT io ; PE * à US “ : K
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3°. — Au moyen d’engrenages faciles à imaginer, établissons entre y et 4 l’une des relations :
AY {= 2+5, x 39.
La première relation nous ramène au paragraphe précédent : la rotation x, de la roulette mesure l’aire S. La seconde donne :
| sin y, sin (24 + ee
n=+ fra? fa; Ni dx.
La première intégrale est nulle pour un parcours fermé ($ 154); il reste donc (au signe près) :
4M ——= bras.
La troisième relation donne ($ 226) :
— 34 — 3 sin 4 — 4 sin d; 35 A2I ait b?r br D'où: Se Dre M —-, I (Su — 4).
