Loi des aires

L'expression de l'aire en coordonnées polaires tire son importance du fait suivant : lorsqu'un point A est attiré par un centre fixe O suivant une loi quelconque, il décrit une courbe plane dont le plan contient le point O, ce qui est évident par raison de symétrie. Le rayon vecteur OA, qui joint le point au centre d'attraction, balaye des aires proportionnelles aux temps mis à les balayer, ce qui résulte des principes de la Dynamique.

Cette loi des aires se traduit par l’équation :

r°d0 — 2Cdt, (1) où dt est la différentielle du temps, C une constante.

Le problème mécanique consiste à déterminer la trajectoire, non pas sous la forme f(r,6) —0, d'une fonction des coordonnées (ce qui spécifierait uniquement sa nature géométrique), mais sous la forme : ;

r = f1(6), 0— (6), ou sous la forme équivalente :

z=F(#9, y=F{b, où {est le temps. L’équation (1) n’est pas suffisante pour résoudre le problème; on doit lui adjoindre une autre condition qui exprime la loi particulière d'attraction. En d'autres termes, il s’agit de détermi-

ner à la fois la trajectoire et la loi suivant laquelle elle est parcourue.

PRE US LS AS à DM AT Et PE LA ;

Notre but actuel est fout géométrique. Nous nous donnerons donc le centre d'attraction et la trajectoire; mous chercherons comment cette trajectoire doit être parcourue pour que la loi des aires soit satisfaite.

176. La trajectoire est une ellipse; l’origine des coordonnées (centre d’attraction}) est au centre de symétrie de l’ellipse.

Prenons l’ellipse sous la forme :

T—aàCoSU, y —= b sin u; u est une certaine fonction du temps qu'il s’agit de déterminer. On a : dx —— a sin u du, dy = b cos u du; ædy — ydx — ab (cos? u + sin? u) du — ab . du. Si les aires balayées sont proportionnelles aux temps employés, on doit écrire :

abdu — Cdt, abu —Ct, en posant u—Ü0, pour {—0. La période T est donnée par la condition que pendant le temps T le mobile accomplisse un tour entier; autrement dit, que la variation 27 pour u corresponde à la variation T pour {. D'où la condition :

2r7ab— CT, C—?2rab : T, nant: FE.

L'angle auxiliaire u doit donc varier proportionnellement au temps; le facteur de proportionnalité est 2+:T, où T est la période. C'est précisément ce que nous avons admis aux $ 114 et suivants; en effet, l'hypothèse fondamentale en Optique et en Electricité est que tout se passe comme si les points mobiles étaient attirés par des

centres fixes proportionnellement à l’écart avec la position d'équilibre (élongation).

177. La trajectoire est une conique; l’origine des coordonnées (centre d’attraction) est l’un des foyers.

1° — Prenons la conique sous la forme ($ 109) : RL Lima Fa —- e cos 0

Pour l’ellipse, on a e<1; pour l'hyperbole, e=>1. Enfin pour la parabole, e—1; comme a{f—e) doit rester fini, nous le poserons égal à p.

La loi des aires s'exprime donc dans tous les cas par la condition :

do D een ve il (1 + e cos 0}? on (4) où À est une constante. Cette équation définit la loi suivant laquelle tourne le rayon vecteur. Nous pousserons les calculs à bout pour

l'ellipse et la parabole.

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