PARABOLE

On vérifiera que la relation (2) redonne (1) par différentiation : tte 1 0 Ge roles ssl: (2)

en se rappelant que : 1 cos 65 —2 cos? ie

Pour {—0, on a 6—0; on suppose donc que le mobile passe au sommet de la parabole à l’origine des temps. Dans l'hypothèse contraire, il faut remplacer £ par —4,; (, représente l'époque du passage au sommet de la Ro

3°. — ELuirse.

Les calculs sont un peu plus longs. On ne trouve de résultat simple qu’en utilisant l'angle u comme auxiliaire. Il faut donc commencer par relier u et 6. |

On a dans la figure 82:

Oq OF Fa, a cos u —r cos 0 +c.

On a (K 109) : r—a(l —e cos u).

ci cos u — e COS u — e D'où: çcos0=— : 0 — arc cos l—ecosu | 1 —ecosu

Ceci posé, des calculs sans difficulté permettent d'exprimer (1) en fonction de u.

On calculera d'abord 41—ecosb, ce qui est immédiat. On calculera dô en différentiant l'arc cosinus ($ 56). On trouvera aisément :

u — e sin u —wf. (3)

Ainsi u n'est plus proportionnel au temps; il varie d'une manière plus compliquée.

La formule (3) est fondamentale en Astronomie. Les planètes se déplacent sur leur trajectoire de manière que le rayon vecteur qui les joint au foyer, balaye des aires proportionnelles aux temps.

Comme les ellipses décrites sont très voisines du cercle, l'excentri-

cité : CH a=Va—D:a, est très petite; peu s'en faut que u ne varie proportionnellement aux temps. |

La formule (2) sert à calculer le déplacement des comètes sur leurs trajectoires.

ct he

HD RS UNS. NET CE pE Fr NÉ PRET TE ONE ie Ÿ ,

Équations naturelles et intrinsèques des courbes planes.

178. Équations naturelles des courbes planes. 1°. — Les courbes sont données par leurs équations naturelles quand les coordonnées des points sont exprimées, en fonction d'une variable auxiliaire u, par les intégrales :

r—a— f"pcosu du, y—yn= f'esinuda. (4)

° est une fonction de u. Pour u—u,, on a le point A (fig. 143) de coordonnées æ—%5, Yy—y.

Voici la raison du nom de ces équations.

Différentions-les ; on a ($ 153) :

dx — p cos u du, dy = 9 sin u du ;

ts u, ds — Vdr? + dy? — p du.

Il résulte de là que u est l’angle de la tangente à la courbe avec l'axe Ox; pb est son rayon de courbure ; ds son élément d'arc.

Par suite, les coordonnées x, y, d’un point sont exprimées en fonction des propriétés fondamentales de la courbe au voisinage de ce point. 0

%,.— En effet, prenons l’arcs comme variable indépendante et donnons-nous la fonction : Ù n D Ms

fs) (2 2

La courbe peut être cons- Fig. 149.

truite de proche en proche.

Parvenus en un point B, connaissant par conséquent la valeur de s et la direction actuelle de la courbe, nous calculerons le rayon de courbure et déterminerons le centre de courbure. Nous tracerons un élément d'arc ds avec ce point comme centre. Nous commencerons les opérations pour la valeur s—- ds de la variable... et ainsi de suite.

La courbe est donc construite indépendamment de tout système particulier d'axes de coordonnées, grâce à la connaissance seule de ses propriétés intrinsèques. Mais une fois construite, nous sommes évidemment libres de la rapporter à -deux axes rectangulaires, dont la position et l'orientation sont arbitraires dans le plan.

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Le APR à GS ORNE RTE RE ES end te DUB 1 nan et Eu de Nm WHITE ANCE È kde À

C'est alors qu'intervient la variable auxiliaire u, définie par l’équation :

ds —p du, AC nn re | (3)

une fois connue, les relations (1) donnent les valeurs des coordonnées æ et y en fonction de u et par conséquent de s. | La constante arbitraire u, correspond à l'orientation arbitraire des axes; les cons- L - tantes x, et y, correspondent \ ee à la position arbitraire de SU PA l’origine des coordonnées.

N 3. — Le cas le plus I Fa simple est celui où 9 est cons- 2 |/2 je OT.

K C Br. 6 L'intégration est immé- Fig. 144. diate :

La fonction u—F{s),

œ — %9 —= p(sin u — sin uo), ; Y —Yo—=— o(cos u — cos Uo)- ( ) Nous pouvons écrire :

(@—2—+e sinus) + (y —yo—p cos m}— qui est bien l’équation d’un cercle.

On vérifie aisément les équations (1) sur la figure 144. Soit A le point de coordonnées %,, yo, U93 Soit B le point de coordonnées x,y,u. Ona :

— KE — p sin u — p sin u,,

y — Yo = ID — IL —DL — p COS Uy— pCOSU.