Radioïde aux arcs ; spirale de Cornu

Le système de coordonnées que nous étudions, s'impose quand on définit la courbe par une relation entre le rayon de courbure & et l'arc s. 1°. — Par exemple, nous voulons une courbe dont la courbure 1: + en un point soit proportionnelle à la distance s de ce point à un point O pris pour origine des arcs, distance comptée sur la courbe. Je dis qu'on a :

sa f eos 3 an pa [sn jo. de (1) 0 0

En effet, mettons sous la forme normale. Il faut poser :

v v a a rv? — Au : LT = -—— cosu du — —— $] L ie PAR Se —ÿ Sinu du.

Donc le rayon de courbure et l’arc ont pour expressions :

a ee ds — p du — ad, S—= av.

Ge rc FO D'où enfin : ATEN 8, ce qui est la condition exigée. La courbe cherchée ÿ

est donc définie par les intégrales de Fresnel ($ 171) :

Base, y al.

2%, — Nous la construirons aisément point par point au moyen de la table du $ 173. C'est une spirale représentée dans la figure 145 ; elle est employée dans l'étude de la diffraction et dans celle des raccordements. Son rayon de courbure est infini à l’origine ; il diminue progressivement et tend vers 0 en s'approchant des points asymptotiques J et J', dont les coordonnées sont ($ 309) :

Fig. 145.

IL est facile de montrer qu'une spire se confond d'autant plus approximativement avec un cercle que s ou v sont plus grands. On a en effet :

de. 4

FRAC Or, à mesure que s croît, une spire correspond à une valeur de As | de plus en plus petite ; le rayon

de courbure le long d’une spire reste constant de plus D AV en plus rigoureusement. Par suite, la spire se confond de mieux en mieux avec un cercle.

La figure suppose a—1.

On a inscrit sur la courbe