Curvimètre

Avant d'aller plus loin, disons comment on mesure expérimentalement la longueur d’une courbe, opération nécessaire non seulement dans la pratique, mais encore pour l'étudiant comme vérification de ses calculs. {

Le curvimètre est constitué par une roulette fine- v ment dentée R (mollette), dont le rayon est choisi | Ki de manière que la circonférence vaille 50 millimètres. Le pourtour est divisé en 50 parties (fig. 147). Li

La mesure de la longueur d’un are de courbe A) LUS LA Lu Lu consiste à faire rouler dessus la roulette et à déterminer le nombre de tours et la fraction de tour qui résultent de l'opération. L'’axe de la roulette est une vis le long de laquelle elle s’avance, pour chaque tour, de la longueur du pas. Le nombre entier de tours est donné par une graduation G À dont l’équidistance est égale au pas de la vis. La Fig. 147. fraction est fournie par la différence des numéros des divisions de la roulette qui se trouvent en regard de la graduation à la fin et au commencement de l'opération. Avec un peu d'habitude, on obtient le résultat à une fraction de millimètre près.

183. Arc d’ellipse ; intégrale elliptique de seconde espèce E;(o).

1°. — Soit à évaluer l'arc d’ellipse BD, compté à partir du point B dans le sens de la flèche (fig. 148). Prenons pour variable auxiliaire l'angle o complément de l’anomalie excentrique définie au $ 107.

œ” y? ; On a : rt 41; Tr = à Sin 9, y —= b cos o.

ds — doVa* cos? ® +- b* sin? o — ado V D +. D vins o .

Posons (a°— b°) : a —k?; k est l’excentricité que nous désignons par la lettre c au $ 107. On a donc :

s— a ['V1—F sin° ç de.

2.— La fonction que nous rencontrons ici, s'appelle intégrale elliptique de seconde espèce. On pose :

[vi — k? sin° ©. do — E,(o).

o s'appelle l'amplitude; k est le module toujours supposé 1. La fonction E qui, pour une valeur donnée du module, est une fonction de l'amplitude, ne s'exprime pas au moyen des fonctions usuelles les 7 plus simples. C’est une TR à nouvelle fonction,d’im- 4 $ portance capitale dans & toutes les parties de la Physique et de la Mé- € : canique.

Quand l'amplitude vaut r:2, l'intégrale est complète; on la désigne par E,, ou E quand il n’y a pas d’ambiguité sur le module; aË, représente donc le quart de la circonférence elliptique pour une excentricité k.

Pour k4—0, l’ellipse devient un cercle ; on a évidemment : E—1,5708, le quart de la circonférence du cercle de rayon a valant -Ta : 2.

Pour k—1, l’ellipse évanouissante se réduit à son grand axe; Je quart de la circonférence de l’ellipse est donc égal à a ; on a :

EE à

Fig. 148.

On écrit souvent :

sin, Ex(o)— [V1 — sin zsint do.

On trouvera plus loin les tables de la fonction E.

3°. — La représentation géométrique de E conduit immédiatement aux relations suivantes, dans lesquelles nous omettons d'écrire le module qui reste le même (comparer au K 160, 3°) :

E(S+e)=2E—E(5—e) E(r+)=2E+E() B(e)=E— RE), (re) 46 +R (e).

Par exemple, les deux premières de ces relations expriment les égalités évidentes :

BDAB'G — BDAËEB' + B'G —2 BDA + BD;

et ainsi des autres.

FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES 227 184. Arc d’hyperbole; intégrale elliptique de première espèce F,(0).

Pour calculer un arc de l’hyperbole, repérons ses points à l’aide d'une variable auxiliaire ©.

Décrivons le cercle de y 4 rayon OA—a; d'un point C défini par l’angleo, menons une tangente à ce C cercle ; elle coupe Ox en un point B qui définit l’abs- g cisse du point P.

Dee sino” 7 tgo .

Posons : 2: (a? bp?) — k?.

Pour éviter des difficultés

qui apparaîtront tout à l'heure, comptons l’are de courbe à partir du point A dans le sens de

Fig. 149.

la flèche; s est nul pour = 5; et croît quand © décroît.

Ceci posé, on trouve aisément :

a FN LS de =+f VI —/k?sin°o ie

Intégrons par parties ($ 158)

HE de Dopapnuf so l Vi — 7 sin? o end in APE Sin°o — k | Vi FT sin° 9 ;

À cos'o us si = | — Ka st PE, NPA vi 2 int e "RE k° V À — }? sin? o

Sans qu'il soit nécessaire de pousser le calcul plus à bout, nous constatons que l'arc de courbe s'exprime d’abord au moyen d’un terme qui ne contient que des fonctions circulaires, ensuite au moyen de l'intégrale elliptique de seconde espèce, enfin au moyen d’une nouvelle fonction que nous appellerons intégrale elliptique de première

espèce :

+. SOS @= f” V AR sin? ®

Comme re o est l'amplitude, k est le module.

185. Intégrales qui se ramènent aux intégrales elliptiques de première et de seconde espèces. | Il n'entre pas dans le plan de cet ouvrage de rechercher systématiquement quelles sont les intégrales dont le calcul se ramène aux intégrales elliptiques. Nous donnerons seulement les plus simples, celles qu'on rencontre dans les applications.

jo ge dx ue : do VÜ— a) (1 — rt) 4 , Vi—kÆsimo

on posera : æ— sin o.

ca o Oo dx ÉTR oR ATeLE R RATE do

VA +») Apr) Vi Fsine

on posera : we kR—1— 7°.

3 Que | 42 — : Ru NUE.

Va = en 0 VI—Æsino :

on posera : x — sin? o

L 1 r°dx à: i cos? o do ; JF, NVi—zx æ V2 V1— sin o ® |

on posera : Hat 2, T = COS 9.

Nous avons vu plus haut comment on ramène cette dernière intégrale aux formes canoniques.

3°. — Pour simplifier les intégrales :

OA LS cos Ÿ dy VI — 2k cos à LA V1 — 2% cos à + Æ ” on posera : sin (o +4) — ksin o.