Intégrales elliptiques considérées comme des aires

1°. — Construisons les courbes (fig. 150):

y—=Vi—Æsino, 2—=1:#1—ksino, pour des valeurs diverses de X?. A toute courbe y, correspond une courbe z obtenue en prenant pour ordonnées les inverses des ordonnées de la première. En effet, pour le même module et la même valeur deo, on a: y#=1.

Pour Æ—0, les deux courbes se réduisent à l'horizontale d’ordonnée 1.

re Ta F4 $ : j L Dre CTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES :

Pour l’autre limite kÆ—1, la courbe y est une cosinusoïde ; is. comme le radical doit toujours être pris positivement, l'arc de cosi- Sn nusoïde entre x :2 et 7 est remplacé par son symétrique par rap- Ru. port à l'axe des abscisses. La courbe z possède une asymptote verti- 1 cale pour o—7+:2, puisqu'on a alors y —0. D Outre les précédentes, la figure 150 représente les courbes y et z 1 pour kÆ'—0,75 et k—0,36. V7 2. — Les intégrales elliptiques de première et de seconde espèces & FE Ê + &, £ 4 ; 0 I I à Fig. 150.

sont les aires limitées au moyen des courbes que nous venons de construire, au moyen des axes de coordonnées, enfin d’une ordonnée déterminée par la limite supérieure (amplitude). Pour les intégrales complètes, cette seconde ordonnée correspond à r:2. Si k—0, les intégrales complètes valent l’une et l’autre le rectangle qui a l'unité pour hauteur, 7 :2 pour base. D'où : Rex 2.

L'intégration est possible avec les fonctions usuelles pour k=—1; si on a : ‘À ? ta HR E= / cos o.de —sin 9, = cos © ‘ Le:

0 0 a Nous aurons l’occasion de revenir sur la fonction F, ($ 213). ss | Ê rh

187. Tables des intégrales elliptiques complètes. E dy NUS D | . Vi—EÆsmo ,.. NE—smesne

= Me EN Vi— k? sin’ o do = f. V1 — sin? sin?o do; 0 0

en fonction de l’angle & variant par degré de 0 à 90°.

UE

& F: E F Le E Oo 15708 | 15708 250 | 16490 | 14981 1 3709 3707 6 6537 4994 2 3713 3703 7 6627 1864 3 5719 3697 8 6701 1803 L 5727 5689 9 6777 1740 5o 18738 | 15678 300 | 16858 | 14675 6 3751 3665 1 6941 1608 7 3767 5649 2 7028 1539 8 3785 5632 3 7119 L469 9 3805 5611 L 7214 4397 400 | 15828 | 15589 35o | 17312 | 14393 1 5854 564 6 7415 1248 2 5882 3537 y 7522 M7!

3 5913 3507 8 1633 092 L 5946 3476 9 1748 013 450 | 13981 1 5442 400 | 17868 | 43931 6 6020 5405 1 7992 3849 : 6061 5367 2 8122 3765 8 6105 5326 3 8256 3680 9 6154 5283 4 8396 3594 200 | 16200 | 15238 45 | 18541 13506 1 6232 5191 6 8691 STATE 2 6307 5141 7 8848 3329 3 6365 5090 8 9014 3238 n 6426 5037 9 9180 3447

a 20 ARR PR NU Ut

Tables des A RÉEE(E elliptiques complètes (suite).

2% F E 2% E E 50° 19356 13055 700 2 5046 11184 il 9539 2963 1 5507 1096 2 9729 2870 2 5998 1011 3 9927 2776 3 6521 0927 4 20133 2681 4 7081 0844 550 20347 1 2587 750 27681 10764 6 0571 2492 6 8327 0686 7 0804 2397 7 9026 0611 8 1047 2301 8 9786 0538 9 1300 2206 9 30617 0468 60° 21565 12111 80° 31534 10401 1 1842 2015 1 2553 0338 2 2132 1920 2 3699 0278 3 2435 1826 3 500% 0223 4 2754 1732 4 6519 0172 65° 2 3088 11638 850 3 8317 1 0127 6 3439 1545 6 4 0528 0086 7 3809 1453 7 3387 0053 8 4198 1362 8 7427 0026 9 4610 1272 9 54349 0008 90° oc 1 0000

Modules x —= 00 90

Se si