Définition du logarithme naturel

1°. — Rapportons l’hyperbole équilatère ($ 417) :

am — n—2,

à de nouveaux axes rectangulaires faisant avec les premiers un angle

6——245°. Pour obtenir la nouvelle équation, il faut remplacer

($ 78) : Ur. Re (+),

de ap

D'où, en supprimant

les accents :

C'est l'équation de l’hyperbole équilatère FCDD' rapportée à ses asymptotes qui sont rectangulaires (K 117). Le

point C a pour coordonnées :

mani; Dont:

FCDD' = #yperèo/e égerletere: n- 4 GAMN =/ogar/thmique ; 7=209x

Fig. 451.

2%. — On appelle logarithme naturel ss nombre æ représenté

par la longueur OB, l'aire ACDBA (fig. 151)

ge je

L’aire est limitée par l’axe Ox, l'hyperbole et les ordonnées d'abs-

cisses À et x.

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Nous définissons ainsi une certaine fonction de x, y—logzx, dite fonction logarithmique. A chaque ordonnée BDM d’abscisse æ—OB supérieure à l'unité, correspondent une aire positive ACDBA et, par suite, un point M de la logarithmique situé au-des-

sus de Oz.

On a : fide=0, log 1 —0.

3. — Nous conservons la même définition pour les logarithmes des nombres inférieurs à l'unité :

Go “de po / ae f ©

Les ordonnées » sont encore positives; mais dans le passage de 1 à æ (qui est maintenant inférieur à 1}, les variations dx deviennent négatives. Donc le logarithme du nombre représenté par x—OE<1, est mesuré par l'aire EFCA, mais comptée négativement.

De la symétrie de l’hyperbole par rapport à OC bissectrice des axes, on peut immédiatement tirer que, si le logarithme d’un nombre très grand est lui-même très grand (ce qui est le cas)), le logarithme d’un nombre très petit est négatif et très grand. Nous verrons en effet qu’on a : |

log oc ——+ ce, log0——<.

Les nombres négatifs n’ont pas de logarithmes réels.

Nous admettrons qu'on a dressé une table de logarithmes naturels par l’un des procédés ci-dessus exposés; par exemple, en traçant l'hyperbole, et en déterminant au planimètre d’Amsler les surfaces comprises entre des ordonnées successives ($ 167), ou en décrivant mécaniquement la courbe intégrale ($ 170).

191. Logarithmes d’un produit, d’une puissance. Généralisation de la notion de puissance.

1°. — Soient les abscisses (fig. 151) :

OA — 1, OA'—k; OB—x, OB'— x.

Elles déterminent des aires ACDB et A'C'D'B' que je dis égales. En effet, supposons-les divisées chacune en nr parties par des ordonnées équidistantes. L'équidistance sera k fois plus grande pour la seconde aire que pour la première, puisqu'on a :

AB—x—1, AB — kx—k—k(x—1).

Mais les ordonnées ou hauteurs moyennes des trapèzes curvilignes ainsi obtenus sont respectivement k fois plus petites pour La seconde

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aire que pour la première, en vertu de l'équation de la courbe : Ta À,

AC—=k, À'C, BD—K%4.BD, …,

et ainsi des ordonnées intermédiaires. Donc les aires sont égales.

On a : ACDB + BDD'B' — ACC'A" + A'C'D'B ; donc : aire ACC'A'— aire BDD'B'.

Ceci posé, on a par définition :

aire ACBD —logæ, aire ACD'B —logkr, aire ACC'A'— log k. Or : ACD'B'— ACDB + BDD'B — ACDB +- ACC A’.

D'où la relation fondamentale où le nombre k est quelconque : | log kx — log x + log 4.

Le logarithme d’un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

2. — La propriété se généralise immédiatement pour un nombre quelconque de facteurs; on a, en effet :

log (uv)}w — log (uv) + log w — log u + log v + log w,

puisque la multiplication est une opération associative et permutative.

CoroLLAIRE I. — Soit à calculer le logarithme de x”, où n est positif et entier. On a :

log z"—log(z .x.x.….)—logz<+logz<+...—nlog x.

CoRoOLLAIRE I]. — Soit à calculer le logarithme de :

ER l nat ———— 3—=VL=—=X?,

où p est positif et entier. On a par définition et en vertu du corollaure I :

et, log 3° — log x —plog 2, BSD Er

CorozLaIRE III. — Soit à calculer le logarithme de 3 ur ee, plogz—gqlog x, log := + log r.

GÉNÉRALISATION. — Ainsi la même règle s'applique, que l'exposant

positif soit entier ou fractionnaire. Nous la généralisons pour un nombre incommensurable. Les logarithmes fournissent donc le moyen de calculer une puissance n positive quelconque d’un nombre. Nous prenons dans la table le logarithme de ce nombre, nous le multiplions par »; nous cherchons enfin le nombre correspondant à ce nouveau logarithme.

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236 COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES Cette règle s'applique à l'élévation aux puissances comme à l’ex-

traction des racines.

192. Logarithme d’un quotient : généralisation. 1°. — Comparons les logarithmes des nombres inverses Ae—#,

OËE— 1 : x (fig. 151). Par définition, on a:

log x — aire ACfe, log (1 : x) — — aire EFCA.

Un raisonnement calqué sur celui du paragraphe précédent prouve que les aires en question sont égales; d’où :

log x —— log (1 : x).