Division des quantités complexes
1°. — La division d'un vecteur par un autre découle immédiatement de ce qui précède.
On à : m(cos u + i sin y) : [n (cosy +isinv)
—(m : n) [cos (y — v) + isin(u —»v)|.
En effet, le quotient doit être tel que, multiplié par le diviseur, il redonne le dividende : c’est la définition même du quotient. 2%, — QuanTITÉS CONIUGUÉES. È Nous arrivons au même résultat par une autre méthode fort intéressante.
À x EAN E à ï at" our "
co Lise: 5 7 COURS ;
Considérons les deux quantités dites conjuguées (voir la note du $ 410) :
Re cos y 1 sin y, COS y — 1 Sin y.
Elles représentent deux vecteurs symétriques par rapport à Ox et de module 1. Ces vecteurs sont inverses l’un de l’autre; on a :
(cosy isiny) (cos y — à sin v) — cos? y — i? sin? y — 1.
D'une manière plus générale, on appelle vecteurs conjugués les vecteurs symétriques par rapport à Ox, dont par suite les modules sont égaux et les arguments égaux et de signes contraires :
a + bi, a — bi.
Leur produit est : ; (a bi) (a — bi) — a — b?— a + P?, C'est un vecteur couché sur Oz, ce qui est évident en vertu du $ 223.
3°. — Ceci posé, diviser par n(cosy—isinv), c’est évidemment multiplier par ee (cos y — 1 sin y).
On a donc :
m(cosu—isinp) mm Re ANR n(cosv Lisin ne re (cos u + 1 sin v) (cos y —1isin »)
—— [cos ( u— v) + isin (u —»)|.
Diviser par un vecteur de module x et d’argument », c'est faire tourner le vecteur dividende de l'angle » dans le sens négatif, et raccourcir son module dans le rapport de n à 1.
4. — On retrouve les mêmes résultats en mettant les quantités complexes sous la première forme. Pour la multiplication, on a :
(a + ib) (ce + id) — (ac — bd) + i (ad + bc). Les modules des quantités données sont :
m—\/e 2 ?? : n—=Vc+d.
3 Le module du produit est :
ac — bd} + (ad + bc} —Vatc? + db? + ad + Pc —\/(a? + b?) (c? Hd) — mn.
Les arguments des quantités données sont :
u—arctg (b:a), v—arctg(d: c).
L'argument du produit est : |
$ arctg [(ad + bc) : (ac— bd)| — y +», comme on le vérifiera en appliquant la formule du $ 60.
5°. — Passons à la division :
L aib (aib)(e—id) (ac bd) i(bc— ad) c—id (c<+id)(c—id) c? + d É
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THÉORIE DES QUANTITÉS COMPLEXES 269 es
On vérifiera que le module du quotient est bien égal au quotient des modules, et son argument égal à la différence des arguments.
