Formule de Moivre

Élever à la puissance m, c’est multiplier m fois l'unité par la quantité donnée. Les règles de la multiplication sont connues; les règles de l'élévation aux puissances s’en déduisent immédiatement. On a :

(cos x + i sin æ)"— cos mx + isin mr.

Identifions dans les deux membres les quantités réelles et les quantités imaginaires, après avoir développé par la formule du binôme. Il vient :

mm — 1 | : COS MT = COS” EX — — lineal cos"? x sin? x . gl

m mim—1)(m—2 sin mr — COS"? SIN ? — ( 1 ie cos” x sin° x + ….

cos mr et sin mr s'expriment donc en fonction rationnelle de sin et cos x.

cos mx ne contenant que des puissances paires de sin x, s'exprime rationnellement en fonction de cosz. Au contraire, sinmr ne s'exprime rationnellement en fonction de sinæ que si m est impair. En particulier, on a :

cos 2x — cos? x — sin°r, sin 2x7 — 2 cos x sin æ;

cos 3r — cos r—3cosæsin®r, sing —3cos xsinr— sin; cos kr — cost x — 6 cos? x sin? x + sin*x, |

sin 4x — 4 cos* x sin x — 4 cos x sinè r.

Ces formules peuvent s'établir sans employer les imaginaires, mais d’une manière moins élégante.

226. Développement des puissances du sinus ou du cosinus. Application : résolution de l’équation du troisième degré.

Posons : u—cosæ—+isinæz, v—cosr—isinx.

u et v sont conjuguées : uv—1. On tire de là : 2cosæ—u—<+v, 2isinr—u—v.

D'où : 2"cos"æ—{u +v)”, (2i)" sin" x —(u — v)". Ces formules contiennent la solution du problème. Nous ne chercherons pas les expressions générales de cos” x et de sin” x qui n'ont

aucun intérêt. Nous ferons seulement le calcul pour les valeurs les plus simples de m.

270 | COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES On a: u’—cospr +isinpr, v—cospr—isinpr; uw —2 cos pr, up — v? — 21 sin pr.

1°. — m—k4. | 46 cost à — ut — vt —L kuo hou + Guu? —2 cos 4x + 8 cos 2x +6, 8 cost x — cos 4x + 4 cos 2x +3; 16 nn do dou Lév2 bol Lots LG 8 sin‘ x — cos 4x — 4 cos 2x +3.

8 cost æ — u° + v° + 3u°v + vu — 2 cos 3x + 6 cos 2r, L cos? x — cos 3x +3 cos x; :

—i8 sin x —u— 0 + Suu — Su?v — 21 sin 3x — 61 sin r,

4 sinÿ x — — sin 3x +-3 sin +.

m2. | k cos x —u? + v + 2uv—2cos2r +2, 2cosx— cos 2x +1; —ksinx—utv—2uv—2cos2r—2, 2sinx ——cos2r +1.