Supposons enfin p—4g<0; les racines sont imaginaires

Lo Ne : se S'

Ecrivons : 2—=— +i/a L -

q est positif; prenons OC—Vg. Je dis que z est représenté par l’un ou l’autre vecteur OA, OA. En effet, la partie réelle de ces

vecteurs est OB——p:2; la partie imaginaire est : BA ou BA'——BA.

On a :

ARS 7m D WE + AHSA. ner SFR OA'—OB°+LAB; AB—\V04—0B —\/1

Ainsi les deux racines ont le module ÿq indépendant de p. L'angle %« qu’elles ÿ s font de partet d'autre de Ox, est donné par F E la relation

COSa— —p | 2Vq .

Ü[H 3°. — Montrons di-

rectement que le vec-

œ = teur OA est une ra-

ED FE fa D p - cine de l'équation.

L'équation . symbolique :

4 #+ps+q—=0, exprime que la résul- LEE tante des trois vecteurs 3°, pz, Q, est OA fs OF — 22; nulle.

3; Construisons-les.

$ Le vecteur représentatif de g est UD.

On a : mod, #1 ;: . mod, #—9.

Puisque z fait l'angle « avec Ox, z° fait l'angle 24. Donc le vecteur représentatif de z° est OF. |

p étant réel, le vecteur représentatif de pz a la même direction que le vecteur 3. Nous avons supposé p<0; donc ps est dirigé

+ £ F4 Kart ri LM: “H: 5

ra er ë *

| THÉORIE DES QUANTITÉS COMPLEXES 27 suivant OG. Évaluons sa grandeur. Construisons le parallélogramme OFED; évaluons la longueur UE. On a :

longueur OE —2 , OH — 2g cos x —— pyq.

vecteur OE——pz; d'où: vecteur OG—— vecteur OE — pz.

Les trois vecteurs OF, OD, OG, s'équilibrent: ce qu'il fallait démontrer.

Remarque. — Il faut soigneusement distinguer la longueur OE, par exemple, du vecteur OE. La longueur OE est considérée indépendamment de sa direction; c'est une quantité réelle. Le vecteur OE est défini en longueur et en .direction; c’est une quantité complexe.

#. — Si q croit, p restant invariable, les racines sont données par les intersections de la droite invariable À avec un cercle de centre 0 et de rayon ÿg . Si q devient extrêmement grand, les racines sont très approximativement dirigées suivant Oy.