Passons au cas le plus général

On démontre qu’une équation de degré m :

Az" + Bz" +... —nN, dont les coefficients A, B, ... sont réels ou complexes, admet m racines réelles ou complexes. C’est dire qu'il existe m vecteurs tels qu'en utilisant l’un d’eux, les vecteurs Az", Bz"-1, ... ont une résultante nulle,

Si les coeflicients A, B, .. sont réels, les racines sont conjuguées deux par deux (de la forme a+bi); les vecteurs représentatifs des racines sont deux par deux symétriques par rapport à l’axe des quantités réelles.

Nous retrouvons les propositions des K 39 et suivants. Puisque les racines imaginaires vont deux par deux, toute équation de degré impair à coefficients réels a certainement un nombre impair de racines réelles; toute équation de degré pair à coefficients réels a certainement un nombre pair de racines réelles.

3°. — Enfin on démontre la proposition connexe : Tout polynôme de degré m à coefficients réels ou imaginaires est décomposable d'une seule manière en m facteurs du premier degré de la forme z— (a + bi); la quantité complexe a bi est une des racines du polynôme égalé à zéro (K 40).

Cours de Mathématiques générales, — H. BOUASSE. 18

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cours DE MA THÉMATIQUES cu ÉRALES A

Précisons le sens de cette proposition sur le polynôme du sécond degré . 22-63-25 —(2+3—4i)(3L38 Hdi). 3 Les racines du polynôme égalé à zéro sont représentées par les vecteurs OA, OA’, symétriques par rapport à Ox (fig. 167).

Soit un vecteur arbitrairement choisi z—O7. On à : OB —02+2B —OZ— OA —3+3— Hi, OB—07Z + 7ZB —07—0 OA'— 343 +; (

M Sid Dress

A Les additions et soustractions sont géométriques. a La proposition énoncée signifie que le vecteur, produit des vecteurs LR OB, OB', est la ré- FRS ÿ sultasle dediboiswoo:

/ teurs 2°,p3,g, où e z est le vecteur OZ . “- arbitrairement choisi.

* Nous énonçons ces “ “ propositions (dont le Z \ z plan de cet ouvrage de ë nous interdit la déde B monstration), d’abord pour généraliser les A va idées, surtout pour habituer le lecteur à l'emploi des imaginaires dont le rôle d'outil augmente tous les jours. Le lecteur les vérifiera sur les équations binômes (K 227) pour lesquelles les racines sont immédiatement calculables.

Fig. 167.