Exponentielle d’une quantité complexe

1°. — Jusqu'à présent nous n’avons pas attribué de sens au symbole e”, où æ est une quantité réelle. Nous sommes libres évidemment de nos définitions; mais cette liberté disparait st nous posons que les règles du calcul des exponentielles réelles doivent s'appliquer aux exponentielles complexes. |

Montrons que nous sommes obligés d'écrire :

e®— cos x + i sin x. (1)

Nous vérifions d'abord la règle de multiplication (et par suite de division, d’élévation aux puissances, d'extraction de racines. On a conformément à l’équation (1) :

ere — e*" — (cos x Lisin x) (cos y + isin y)

— cos (x +y)—isin(r +y.

à ar PAST EE

| THÉORIE DES QUANTITÉS COMPLEXES

2%. - Mais nous savons que la propriété fondamentale des expo-

nentielles est la conséquence de l'équation différentielle qui les définit. Voyons ce que devient celle-ci dans le cas des quantités complexes. Pour les quantités réelles, on a :

de“ — ae dx, où a est réel.

Les opérations algébriques restant les mêmes (par convention) pour les quantités complexes que pour les quantités réelles, les règles de dérivation demeurent inaltérées, puisque dériver revient à effectuer une différence, puis un quotient.

On aura donc pour les quantités complexes :

défie" d>,

ce qui est conforme à l'équation (1), puisque :

d (cos x Li sin x) = (— sin æ& + i cos x) dx —i (cos x —+ isin +) dr.

Les deux fonctions qu'identifie l'équation (1), auront donc toujours même dérivée. Elles sont égales entre elles pour r—0; elles seront donc toujours égales, En définitive, si nous voulons donner un sens au symbole e*, ce ne peut être que celui défini par la relation (1).

REMARQUE [

La fonction e” est périodique et de période 27. On a en particulier (traduire le symbole exp. par exponentielle): |

exp (i24r) — 1, exp (kr + i5)=i,

exp (it 24x +ix)——1, exp (ie) = i REMARQUE Il.

Toute quantité complexe peut se mettre sous les formes équivalentes, où + et & sont supposées réelles :

[. eBeit — e8 +8 — ; (cos x + i sin «) — a + bi; bp, . B—loge.

Nous avons dit quon peut toujours prendre & positif; son logarithme est donc parfaitement défini.