Logarithme d’une quantité complexe

Le paragraphe précédent ramène l’exponentielle d'une quantité complexe à la forme ai, c'est-à-dire définit l’exponentielle d’une quantité complexe, nous permet de représenter sa valeur sur le plan. Nous avons :

eB + üx — eBeit — à L bi — ef(cos à - isin à). (1) Pour définir le logarithme d’une quantité complexe, nous poserons : B— ix — log (a + bi).

Or on a par identification des équations Lie ÉEES 1 eP— Va Lh?, Ep ra LD.

Se b S VER Ne « est défini sans ambiguïté par son cosinus et son sinus, le radical

devant être pris avec le signe +; est donc défini à 247 près, où k est entier. Appelons + une valeur possible; il vient en définitive :

log (a+ bi) = log (a+ B*) + à (kr + à).

Une quantité quelconque, re positive, a donc une infinité de logarithmes, puisque le nombre entier k reste arbitraire; posant k—0, on retrouve le logarithme ordinaire. En particulier :

log F1: 27, log (—1)—i(2k td}, log (— a) — log a + log (— 1) — log à +—i(2k +1)r.

Ainsi sont introduits les logarithmes des quantités négatives.

COS 4 — - sin à —