Fonctions circulaires d’une quantité complexe

1°. — Comparons les formules :

er Let k et — e + er — e7 COST 5 , MAL 9; * (gx — Lee ‘ aux formules qui définissent les fonctions hyperboliques (K 212) : en ETS ÿ ee" ; nee coshr—=——, snhz=—;—-, Bhe——-

Les fonctions hyperboliques, étant composées d’exponentielles, sont définies pour des valeurs complexes de la variable ($ 230); nous pouvons donc remplacer x par 1x dans le second groupe de formules. Le comparant alors au premier, il vient :

cos æ—= cosh ix, i sin æ — sinh tx, itgæ—=tghir. 2%. — Admettons la généralité de ces formules; appliquons-les à une quantité æ purement imaginaire, Remplaçons + par ix. cos ix — cosh x — cosh (— x) —coshx, i sin x —sinh x—sinh(—x)——sinhx, sinix —isinhx: tg ir — sin it ! COS it — itgh æ.

3°. — Généralisons pour une quantité complexe quelconque : sin (æ-+ iy) — sin x cos iy +- cos x sin y — sin + cosh y +- 1 cosx sinh y. cos (æ —- iy) — cos æ cos iy — sin x sin y — cos x cosh y —à sin æsinh y.

de les fonctions circulaires des quantités complexes sont ramenées à la forme a--hi, par suite deviennent représentables par un point du plan.