ES QUAN TÉS COMPLEXES

L 238. Arcs en progression arithmétique.

Soit à calculer les sommes :

Si cosa+ cos (a+)... +6" 'cos [a+ (m—1})] 4 S,= sin a+fsin (a+è)+. +8" 'sin fe +(m—1)],

de m cosinus ou sinus dont les arcs sont en progression arithmé- | tique, et dont les coeflicients sont en progression géométrique. | ‘ Pour cela, calculons la somme :

S — 51 LL iSe — efs [1 + Beiè + B2ei25 | 140 + £ am — 1 eilm — D]. La quantité entre crochets est une progression géométrique.

Une formule élémentaire ($ 245) donne : ‘4 RE SAAE gmeimè

— pla s = 1

Se 1 — per (4)

Il suffit d'identifier dans les deux membres les quantités réelles et les quantités imaginaires. Pour éviter les calculs inutiles, nous ne traiterons que deux cas particuliers.

-1°. — $ est positif et petit. Quel que soit m (pourvu qu'il soit assez grand), on ne commet qu’une erreur insignifiante en posant f"—0. D'où aisément :

, (1 —6 cos à) cos «à — 6 sin à sin

Ne 1 + 6° — 26 cos à ;

y, ({— 6 cos 3) sin à + 6 sin cos a we D CRBESATT x ; 2)

1 + 6° — 26 cos à

Dans les applications optiques, on utilise la somme des carrés des coefficients de cos et de sin + dans les deux expressions précédentes. Évidemment la même pour Set S!,, elle est égalé à :

1: (14 82— 98 cos D). ; ®%,. __ Le second cas intéressant est celui où le nombre des termes est quelconque, mais où l’on a É—1. Nous avons affaire à une série d'arcs en progression arithmétique :

L: TI) RNESS : Une”; Pre S — elx — L € — pla € l 7 À — etù ie

On met cette expression aisément sous les formes :

Sepi a+ te |] ep À —exp(— #5?)

d exp 2 — exp(— +.) -

S ce Por (2 de PEER +) + isin (a ++ “ 3) sin re : sin 5

Séparant tés TMS réelles des mc RE

Die COS (a+ mt >| sin : sin h DRE sin Ac sin +

En particulier j x 0, onA:

EU . + cos(m—1), D Qu d—...— sin (m—1).

. 2m— Sr [tin Pa: sing |,

1 L Ô 2m— 1. PERS Ô LR pe TOR TEE MN à DE

Représentation conforme.

234. Fonction des quantités constitutives d’une variable complexe.

1°. — Tout point A du + xOy est défini par ses coordonnées cartésiennes " : æ, y, | ou polaires : or, a.

Z= + Èy On peut aussi bien le consi- N, dérer comme défini par la quan- B tité complexe (fig. 168) :

dy z—=2—+ iy —r(cos à isina).

c Quand le point se promène sur une courbe MN, la quantité complexe varie. En parti- Ne culier, du point À au point voisin B, elle augmente de :