dz — AB— AC + CB

À; N; k se dz— dx + idy.

Cette différentielle repré-

sente, d'après nos conventions, non pas l’are de courbe, mais la

corde. Du point À au point N quelconque, On à :

La ds — (ON, — OA) + (ON, — OA) — corde AN.

: D'où cette proposition fondamentale, du reste évidente : quand on

passe d’un point à l’autre du plan, la variable z subit une variation

indépendante du chemin parcouru.

2. — Considérons un second plan que nous appellerons plan des w;

posons : w = 9 + iÿ = p (cos 0 + i sin 8).

si ÿ sont des re réelle Chacdut des points du plan w est défini par une valeur de w, c'est-à-dire par une valeur de ; et une valeur de % (fig. 169).

Il s’agit de relier les points du plan z aux points du plan w.

3. — On pourrait prendre pour © et y des fonctions arbitraires de x et de y; la correspondance entre les points des deux plans serait parfaitement déterminée. À une courbe Z du plan z correspondrait une courbe W du plan w.

Pour fixer les idées par un exemple, soit la correspondance :

w — x + 2iy; Van d: y — 2y.

A. — Considérons, dans le plan 3, les droites passant par l'origine :

y — ar. Cherchons les courbes conjuguées dans le plan w. On a: P—=%, = 2a7; y = 249.

ce sont des droites passant par l’origine du plan w.

B. -— Considérons, dans le plan z, les cercles : y? La— R?. Dans le plan w, les courbes correspondantes sont les ellipses :

Et ainsi de suite. |

#4. — Mais quand 9 et 4 sont choisies arbitrairement, 1l n'existe pas entre les courbes Z et les courbes W de relation Rep) Aussi se borne-t-on à considérer des correspondances plus particuhères, mais d'intérêt fondamental.