Représentation conforme. Fonctions conjuguées

1°. — Cherchons comment sont reliées les fonctions o et Y pour

qu il existe une dérivée unique pour chaque système de points con- Jugués; par suite, que la représentation soit conforme. On a :

du = 9? de + Se dy +i( de + dy) =" no rie (ES De la relation : dz—dx +idy—m(cos y Lisinp), on tire : dx — m cos y, dy = m sin y.

Identifions les deux membres de l'équation (1) en remplaçant dx, dy, par leurs valeurs, et en posant »—y—+c. Il vient: m cos p + . m Sin p—n cos (y +5) —ncosscosu—nsincsiny,

ou DU Fr À Gr COS AT By m sin p.— A Sin (pc) —n sin s cos y. + n cos ssin y.

D'où : pie SLT M open Me M dy m du n ; du n

<— = —— Sn 6 er De mie CCS dx : 0y m

à D'où enfin : = dy — dr” (2)

Telles sont les relations qui doivent exister entre o et 4 On a les relations équivalentes :

do do | dY dy do dY | do ÙdY à.

Ge +0) -09 + (9)

Quand les conditions (3) sont satisfaites, la dérivée dw : dz, est complètement déterminée et ne dépend que du point A.

On peut donc la calculer au moyen d’accroissements de la variable parallèles aux axes. D'où les relations :

dw dw dw . dW. dw .dw 5 Fe de M D de;

Ces dernières formules signifient que si au vecteur AD parallèle à l'axe Ox correspond le vecteur A'D', au vecteur AC parallèle à Oy correspond le vecteur AC égal et normal à AD’. : FRS C'est en effet le rôle de l'opérateur à de faire tourner un vecteur de 7r:2 dans le sens positif.