FonCTION D'UNE VARIABLE COMPLEXE

Les conditions équivalentes (5) conduisent à la notion de fonction d’une variable complexe. Elles signifient, comme nous allons voir, que © et 1} sont, non pas des fonctions arbitraires de x et de y, mais la partie réelle et la partie imaginaire d'une fonction :

w=/f(a)= fe + iy), qui dépend, non de x et de y séparément, mais de la combinaison æ + iy. On a dans cette hypothèse :

dw df dz df dw , df d3 ..df dx . dz dx di? dy ds dy d:'

relations identiques aux équations (5).

Les fonctions ox, y), ÿ{æ, y), qui se déduisent comme il vient d'être dit d’une fonction quelconque f(z)=[(æ+iy), sont dites conjuquées.

3. — Comme exercice, nous conseillons au lecteur d'étudier la transformation :

w= 94 iÿ= log 2 = log (æ + iy), dans le cas simple où le point A décrit un cercle de centre O. Le point correspondant A’ décrit une droite parallèle O'L. La construc-

die a COURS DE MATHÉMATIQUES GENERALES na ne

tion lui fera comprendre en quel sens le logarithme est | une fonction périodique. Il étudiera de même la fonction :

w—=o + ie,

dans le cas où x est une quantité réelle variant de — x à +cc.