Faisceaux de courbes orthogonales; inversion
Prenons dans le plan z deux faisceaux de courbes orthogonales, c'est-à-dire se coupant toutes à angle droit. Les courbes correspondantes dans le plan w se couperont également à angles droits; c’est la conséquence de la représentation conforme.
On voit l'importance de cette proposition dans les nombreuses questions d'Hydrodynamique, d'Acoustique, d'Électricité, de Magnétisme (lignes équipotentielles et lignes de force), où l’on a besoin de connaître des faisceaux de courbes orthogonales. Naturellement nous
choisirons dans le plan
par exemple :
les faisceaux de courbes les plus simples,
rHéonE DES
ge É droites parallèles à Ox et les droites parallèles à Oy;
2 les droites passant par un point et les cercles ayant ce point pour centre.
Utilisant comme transformateur une fonction quelconque /(z2), nous obtiendrons dans le plan w deux nouveaux faisceaux de courbes
orthogonales.
Usons d'abord de la transformation par rayons vecteurs réciproques.
1°. — Les droites parallèles à Ox donnent des cercles tangents
à Oo; les droites parallèles à Oy donnent des cercles tangents à Oy. Les deux faisceaux de cercles obtenus sont formés de courbes orthogonales. Nous laissons au lecteur le soin de faire la figure et de discuter le problème.
D. __ Prenons comme centre d'inversion Je point À et transformons le faisceau de droites p qui se coupent en M, et dé. E
le faisceau de cercles qui ont M pour centre (fig. 174).
Soit B le transformé du point M. Les cercles qui résultent de la transformation desdroites MF, doivent passer tous par le centre d'inversion À et par le point B. Leurs centres se trouvent donc sur la droite OE élevée normalement à AB
u point O milieu de AB. :
Il est facile de voir que les cercles qui résultent de la transformation des cercles de centre M, admettent cette droite OE comme axe radical ($ 88). En effet, soit AM—a.
Les cercles transformés ont pour équation ($ 237)
(a Re) (et 4") — 2ap +1 —0.
L'origine des coordonnées est actuellement en A. Transportons-la
0 0: Ona.: dE AB — 1 : a, AO — 1 : 2a.
Fig. 174.
Il faut remplacer dans l'équation précédente © par (9 +1): 2. re at+R 1 On trouve : pd — À a ps9 tas —=0;
équation qui est bien de la forme voulue ($ 90) pour que OE soit axe radical.
En définitive, nous retrouvons les faisceaux de cercles étudiés au $ 90 et représentés dans la figure 66.
