ANNUITÉS

On emprunte une somme S, qu'il faut rembourser par des annuités d'un franc payées à la fin de n années en commençant par la fin de la première. Quelle est cette somme?

Le franc versé à la fin de la première année, porte intérêt pendant n — | années ; le franc versé à la fin de la n°" année, ne porte pas intérêt. On a donc :

S— (Ar) (Ant (Ar) HAE ri], Par exemple, supposons le taux 3 °/, et n—20; :l vient : S—0,806 : 0,03 — 26,87.

L'annuité d’un franc produit 26,87 au bout de 20 ans à 3 ?/,.

S1 la somme S est donnée, la même formule permettra de calculer l'annuité à payer, puisqu'il y a proportionnalité entre les deux.

0°. — On résoudra avec la même facilité tous les problèmes de rentes, d'amortissement, etc. Les questions qui se posent aux Compagnies d'assurances sur la vie sont analogues, à la différence près que l’âge de la mort, par conséquent du payement de la prime, est incertain ; il ne peut être fixé que d'après une probabilité moyenne. C'est à l’ établir dans chaque pays et d’après l’âge actuel de l'assuré, que servent les Tables statistiques de Mortalité.

Les questions de Retraites sont basées sur les mêmes formules. Toutefois, en calculant les annuités à payer, on tient compte du fait que les sürvivants profitent des morts prématurées (tontine).

247. Fonction continue passant par tous les points de la série.

Une série est donc représentée dans le plan par des points isolés les uns des autres. Par ces points, nous pouvons faire passer une infinité de courbes continues. La courbe la plus naturelle est souvent facile à trouver.

Par exemple, nous savons qu’un franc placé à intérêt composé au taux r, prend au bout de n années la valeur :

S—=(1+r). (4) Rien ne nous empêche de considérer n comme variant, non plus par sauts discontinus d’une unité, mais d’une manière continue. Nous définissons ainsi une fonction continue qui coïncide avec la fonction discontinue à la fin de toutes les années. Son calcul est aisé à l’aide des logarithmes; on a :

log S — n log (1 + r). (2)

{ MR 144 À Te F

= DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE 297 En prenant pour abscisses les nombres "7 et pour ordonnées les valeurs log $, la courbe (2) est une droite (voir le chapitre XXIV

pour l'emploi des papiers à échelle logarithmique).

248. Valeur à la fin de r années de 1 franc placé à intérêt composé : S—(1+7r)".