SÉRIE A TERMES ALTERNATIVE- MENT POSITIFS ET NÉ- GATIFS

Pour que les séries solent convergentes, il suffit que les termes décroissent et tendent

vers zéro. C’est ce que la figure 182 rend évident. Puisque u, est négatif, B est au-dessous de A; puisque 4, est

| DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE 299 positif, mais plus petit en valeur absolue que u,, C est au-dessus de B, mais au-dessous de À. De même, puisque u, est négatif, mais plus petit en valeur absolue que u,, D est au-dessous de C, mais au-dessus de B. Ainsi de suite. Donc les points figuratifs de la série se rangent sur deux courbes 1 et 2 : la courbe 1 est toujours au-dessus de 2; la courbe 1 s’abaisse constamment, la courbe 2 s'élève constamment ; elles tendent donc vers une limite commune MN dont l’ordonnée est la somme de la série.

On remarquera que les deux séries :

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peuvent être séparément divergentes: car de ce que les termes décroissent en valeur absolue et tendent vers Ü, il ne résulte pas que la série soit convergente. Autrement dit, de ce que la pente d'une courbe diminue, il ne résulte pas qu’elle ait une asymptote horizontale; exemple, la parabole y?—2px, dont la pente :

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de 4 Ve) diminue constamment quand x croît.

D'où le corollaire : tandis qu’on peut intervertir à son gré les termes d’une série convergente à termes tous positifs, il n’est généralement pas permis de le faire pour des séries convergentes à termes alternativement positifs et négatifs. Il faut les prendre dans l’ordre pour lequel la convergence a été établie.