SÉRIE DONT LES TERMES SONT DE SIGNES DIFFÉRENTS
Lorsqu'une série à termes tous positifs est convergente, on peut changer les signes d’yn nombre quelconque de termes arbitrairement choisis, sans que la convergence cesse d’exister.
Reprenons la figure 180. Il est d’abord évident que la série ne deviendra pas divergente; car la limite de ce qu’on peut obtenir en changeant tous les signes, est de changer le signe de la somme. Donc en prenant les n premiers termes et changeant les signes arbitrairement, on aboutit à un point P du plan certainement compris entre la droite MN et la droite M'N' (non représentée), dont l'ordonnée est égale et de signe contraire à OM.
Reste à savoir sila série est indéterminée. Klle ne l’est pas, parce qu'en prenant nr assez grand, la somme de tous les termes pris posifivement constituant la fin de la série, est aussi petite qu'on veut : c'est en cela que consiste la convergence. Changer arbitrairement les signes ne peut que diminuer la valeur absolue de cette somme. Donc la série tend vers une limite bien déterminée.
250. Emploi de la progression géométrique comme série convergente de comparaison.
Il est bien évident d’abord que la somme d'un nombre quelconque
COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES n de termes /inis est finie; nous n'avons donc à nous préoccuper de
la convergence qu'à partir du n—+1°" terme, n étant aussi grand que nous voulons, mais restant fini. Comparons les deux séries :
1 2 ARS OCR ? Ma (4) Un, Uns1s Unros... (2) Si b<1, nous savons que la première est convergente. Ecrivons
que les termes de (2) sont respectivement plus petits que les termes de (1). Nous le pouvons de deux manières équivalentes.
RS 4 Poser: "mb", C'est poser: "Ju en Donc lorsqu'à partir d’un certain rang la racine p°”" du terme de
rang p est constamment égale ou inférieure à un nombre b<1, la série est convergente. |
ième
®.— Soit u,<b". Nous voulons qu'on ait aussi : RARE a à RE à La condition est évidemment réalisée si :
RE FU M4: D: «a fortiori si: PR D:
ñn
Et ainsi de suite.
Donc lorsqu'à partir d’un certain rang le rapport d’un terme au Fe précédent est constamment égal ou, inférieur à un nombre b<1, la série est convergente.
REMARQUE. K
Il arrive souvent que les quantités : u,,,:u,, Vu,, tendent vers une limite bien déterminée quand n croît indéfiniment.
On déterminera cette limite. a
S1 elle est inférieure à 1, la série est convergente.
Si elle est supérieure à 1, la série est divergente; car sa pente est plus grande que celle d’une progression géométrique de raison b>1, progression sûrement divergente.
Si elle est égale à 1, la comparaison avec la progression géométrique laisse la convergence incertaine ; 1l faut procéder autrement.
