Changement de la variable indépendante

Soit y une fonction de la variable + qui est elle-même une fonction de la variable #. Je peux donc considérer arbitrairement y comme fonction de æ ou comme fonction de #. Le problème est d'exprimer les dérivées d'y : dx", en fonction des dérivées

d'y'dt et, d'or dP,

et des dérivés d'ordre moindre.

4°. — Nous avons d’abord :

DU TA dons =): (S)

HR: do: dt? de : \dt):\dt.

2%. — Posons p—dy:dx. C'est à volonté une fonction de x ou de f.

Po vap MEQD\ (dr dy dd /y\s fe Pos (+) (Fe): =): (Ge):

Remplaçons dy:dx par sa valeur (1); il vient en appliquant la règle du $ 14 : | dy __[ de dy dy dx]./dx\ Il def SE dE df:.: dt. Tr | (%) ti On trouverait de même :

dx [ dy dx dx d'y |. /dy\ IL (ne mad) ME) Comparons (II) et (Il'); il vient :

dy dx { dy \° dr dy° (SL) à #0

On peut aussi obtenir cette formule à partir de (II) en posant identiquement {—7y, ou de ({Il') en posant identiquement {—#x.

Dans le premier cas, dy: diet dy ef V:

dans le second cas, dx : dise#, d?x : dt —0.

3°. — Continuons pour le troisième ordre. Posons maintenant : dy d'y: dp.. dp dt dp dæ P— Gr? = de = ge de (ar): (de)

Mn blagons: P par son expression a) et oictqene les dérivations | RL :

— (% Ÿ PRO Lattes. du dy d'u | (dz\ 9e dt dé dé T9 dt\de) — dt dt de (7) (IV) Et ainsi de suite.

APPLICATION. ù Nous rencontrerons sous le nom de rayon de courbure une quantité qui a pour expression ($ 17) :

nt CV. (a us 1+ (50) (2) Supposons y et æ exprimés au moyen d'une variable {. Négligeons d'écrire les dénominateurs; : prend la forme :

pe= {de + dy]? : [dxdy — dylx].

21. Dérivées de différents ordres pour une fonction de plusieurs variables indépendantes.

Soit la fonction : 2—/f{x, y, t{, ..…), de plusieurs variables. Pour calculer les dérivées de divers ordres, appliquons le principe fondamental du $ 9. Laissant toutes les variables fixes sauf une, æ par exemple, nous regarderons z comme fonction de la variable unique æ et calculerons ses dérivées successives par rapport à x d'après les règles énoncées.

TA , Le ( L Supposons la dérivée première obtenue : pa C'est encore une

fonction de x, y, t{, .…. dont nous pouvons chercher la dérivée par rapport à une autre variable, y, par exemple.