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Nous obtenons ainsi /a es dérivée partielle seconde : Le | ni. M."

or 5 Seb D Ti dy dx ? D er MER d2= NOLAT NT AP que nous écrivons : PE Pate it dydx ANS . 2 Montrons que l’ordre des 0 sr AO x différentiations est indiffé- “ rent; c'est dire qu'on a : RON AM 0... ds 1 dy dydr drdy A : 4 dx C Pour rendre manifeste le Fig. 12

sens de cette relation, supposons z fonction de x et de y seulement : z—/f(x, y). Nous

co URs DE a THEMA r1Q

pouvons a Eee z par une surface. Pronos (Gg. 12) Lu : axes de coordonnées trirectangles Ox, Oy, Oz. En un point a du plan +0y, . élevons une perpendiculaire de longueur 22 2(0, y) ft y) Nous

tracerons ainsi la surface point par point.

Considérons l'élément de surface ABCD découpé par les verticales dont les pieds sont sur le rectangle abcd, de côtés dx et dy. Soit x, y, les coordonnées du point 2.

Nous pouvons assimiler l'élément à un quadrilatère plan.

Évaluons les pentes de ses quatre côtés :

pente AB—6£6B : Aÿ— [fe + de, y) — f(x, y)] : dr = 2 fy), pente DC— MC: DM—|/{x 0 y + dy)—f{x, y +dy)] : de Ar [y + dy).

Ce qui signifie que la pente de AB est égale au taux de variation par rapport à æ de la fonction z, dans laquelle l’autre variable a la valeur constante y. Le point du plan æz0y se déplace suivant ab. La pente de DC est égale au taux de variation par rapport à x de la même fonction z, quand on donne à l’autre variable la valeur constante y—+ dy.

Évaluons maintenant la différence des pentes :

(MG—FB) : de— À [/(y + dy) — = (SE) dr

“rire (SE) dry.

FN ÔE

Recommençons la même opération sur les côtés parallèles à yOz. Nous trouverons :

ù ùd pente AD — og /(®) pente re f(æ + dx); STE TT EN ù 0z Or on a: MC—5B—NC—3D, 8D + MC—6B + NC.

Donc : = dr. 00 ne 0x \oy / dy \dx/ drdy — dydr:

Comme on peut toujours considérer z comme fonction seulement des deux variables dont on veut intervertir les dérivations, le théorème se trouve démontré dans le cas général.

REMARQUE

Nous écrivons plus haut :

0 | dz 0 / dz D a it LE

En effet, x et y sont des variables indépendantes; il en est de

AE OT PUS MERE 15 SEA A PRET sd" RE mo et Rd ee a Re 1 DE: RPC

mme. de de et d à | 1 entité dy ne dépeint pas de dx, sa

dérivée par rapport à x est nulle,