Généralisation de la formule de binôme

Soit à développer (1x), où p nest plus nécessairement entier.

f(x) =(+zx), f(0) —1; f(z) =pA+zx}"", ['(0) —p; l'(&)=p(p—1)(A+z}", f(0)—=p(p—1);

et ainsi de suite. D'où :

ET api 48e RE dat. TR,

R—(1 = 0} p(p — 1) tp (p—n) (A Hope uantt

Nous retrouvons donc la formule du binôme avec un reste. Celui-ci à une valeur qui tend vers 0 quand n croît indéfiniment, pourvu que æ soit compris entre —1A et +1.

En effet, le reste peut se décomposer en trois facteurs :

ee —1)...(p—n Le) F (1 6x) —!, RO Le (p : Lonir

RE

Puisque 6 est compris entre 0 et 1, et que x est compris entre — 1 et +1, le premier facteur est certainement infiniment petit pour n infiniment grand. Il resterait fini et égal à l'unité pour æ——1. Le second facteur est fini. Il faut donc prouver que le troisième est infiniment petit pour n infiniment grand. Eneffet, pour

passer de sa valeur pour n termes à sa valeur pour 7 + 1 termes, on doit le multiplier par : |

[p—(n+1)}x:(n+04), quantité qui pour 7x très grand tend vers — x, c’est-à-dire est comprise entre —1 et +1. Le produit d'un nombre de plus en plus grand de facteurs qui (au moins à partir d’un certain rang fini) sont tous inférieurs à l’unité en valeur absolue, tend évidemment vers 0.

= tete tait

ap = 1 + 3e + 608 4 AO +

LR x x? a Dat Vita =l+g 5 T6 128 il x æ 32°? 5 35x* %, gi rip NUE ÊUÉE PA LUE ©' Han

RSA EE ee œ Ni Da 10x* TT Mt a

1 a 27° 14 39" Po sh gt 9: S1 + DD

D A cd M ART RLNÉET À DA

œ* æ° æ arCtg LL — 5 +R — 7 +.

æ* 32 Da arc sin =? + + T0 + TS +.

Formules d’approximation.