Formules d’approximation

1°. — Nous avons déjà fait observer que les développements en série servent à deux fins : 1° obtenir une fonction équivalente à une fonction donnée; 2° faire plus aisément des calculs approchés. Dans

DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE sn le premier cas, nous devons nous inquiéter de la convergence de la série indéfiniment continuée. Dans le second cas, elle nous est parfaitement indifférente, puisqu'on ne calcule pas une série infinie; il

suffit que nous puissions estimer la valeur du reste. Voici des exemples pour fixer les idées.

®, __ Il est évident qu'on a pour x positif et petit : a 4 æ RS NS LA 5 <i85 ; 3 < SIN T : COS S-.

Par suite : + <LIsngcosz, æ(1 F ar suite : æxcos 5 < SIN 5 COS 3, — sin? 5) < sin r. | ne - d T—SNT<TSIN TS, LT — SIM TL —-

puisque le sinus d’un arc est plus petit que cet arc. En définitive, nous avons les inégalités :

æ ; X — #4 CHE L< D.

Nous pouvons donc remplacer sin x par x avec une approximation. que nous savons évaluer. :

La connaissance du développement convergent ($ 257) :

é 4 x SDT—L— 6 À 19ÿ — 5040 + Yi

est précieuse, puisqu'elle nous fournit, outre une estimation plus précise de l'erreur (x°:6 au lieu de x°:4), une approximation indéfinie grâce à un plus grand nombre de termes; mais elle n'est pas nécessaire.