On a : cosæ—1—92sin?+., à 2 d’où : cosæ
Voici donc cos æ déjà compris entre les limites 4 et 1—x°:2. On peut aller plus loin. Remplaçons sin(x : 2) par la valeur sûrement trop petite déterminée ci-dessus. On a :
cos <1—2(5— 5) cos» 1 — + Te ns Hi æ* pi et a fortiori : cos æ 1 — 5 +7
Nous renfermons donc cos x dans les limites :
æ® x? æ* HA < cos D <1— 5 +.
Le développement convergent ($ 257) :
A F4 # COSD— A — +5 —...,
LA
fournit une estimation plus précise de l'erreur.
4°. — La formule du binôme donne :
| — 1 Aa pe + BED, à 1 | et par suite : Re OUT à Elle n’est cependant pas nécessaire pour savoir que poser : L'(U+z)—=1— 2x, c’est écrire : x? — 0; L'UHz)—=l—x ta, c'est écrire : Det:
et ainsi de suite. | 9°. — Soit une fonction quelconque f(x, y, =) dont nous vou-
lons calculer les valeurs autour du système x, y, 3; par exemple, pour le système æ—Lh, y—k, z—g. Sans qu'il soit nécessaire d'aucun raisonnement supplémentaire, nous avons approximativement :
fe y + sg) fes vs 3) +8 HSE 9 SE
en vertu de la définition même de la dérivée et ds que la foncton f(x, y, z) n'ait pas de propriétés particulières au voisinage du système x, 7,3. Notre but est ici non pas de construire une fonction équivalente à la fonction f{x, y, z), mais de calculer des valeurs approchées. Elles le seront d'autant plus que , k, g, seront plus petits.
6°. — On conçoit maintenant l'usage, pour le calcul des fonctions, de séries qui indéfiniment prolongées seraient divergentes, dont les termes pourraient même croître indéfiniment.
261. Résolution de l’équation du second degré par approximations successives.
1°. — Supposons très petit le coefficient a de l'équation : ax? br Lc—0. (4) La résoudre, c’est déterminer les points d’intersection avec l'axe
des æ de la parabole :
y —=a2? + bx + ce.
Vu la petitesse du coefficient a, cette parabole à distance finie se confond presque avec la droite : :
Y= DT cr C.
Il existe donc une racine réelle voisine de x——c: b.
Il en existe une autre très grande voisine de —}:a. En effet, pour les grandes valeurs de x, les deux premiers termes a2° + br l'emportent beaucoup sur le troisième.
Cherchons une valeur plus approchée de la première racine.
Remplaçons x? par —c:h dans le terme petit. On a : D D de ep PAT ED D
On obtient une valeur encore plus approchée, en passe a*. par cette nouvelle valeur.
Négligeant le terme en a*, on trouve :
c ac? is 2a°c° oi De D 2%. - On obtient autrement le même résultat.
Résolvons l'équation (1) :
150 EUE Re OU Vi Fac }
Nous ne gardons que la racine relativement petite. Développons le radical par la formule du binôme (K 258) :
kac \+ ac ‘Jaïct;;: ha’e b° —=1— M0 DS? DE:
ce: ac, 240 nn eNE D'ABONE LE b° 3°. — Comme application, traitons le problème classique du puits.
On laisse tomber un caillou au temps 0; on détermine le temps 4 auquel on entend le bruit de la chute. On demande la profondeur du puits. Appelons g l'accélération de la pesanteur, V la vitesse du son. La profondeur À est donnée par l’équation :
RE 2h AE: h \° ge np (4) (1)
Comme V est grand relativement à la vitesse de chute, on a comme première approximation h—g{:2. Substituons cette valeur dans
le second membre de la relation exacte ; il vient :
iir er, ge oi (e— v) A HS
On trouve le même résultat en développant la solution exacte :
2 e 3 h=Vi+ EVE
REMARQUE
La première méthode présente l'avantage de donner une solution unique. Quand on part de la première équation (1) et qu'on chasse
le radical, on introduit ipso facto une solution fausse, puisque le résultat serait le même pour l'équation : |
hk 2h
D UE sa , qui n'a pas de signification physique. La remarque s'applique chaque fois qu'on est amené à chasser des radicaux. On ne retrouve évidemment jamais dans les résultats que ce qu’on a mis dans les équations ; mais 1l faut avoir soin de ne rien ajouter en cours de route, car on le retrouve à la fin.
262. Calculs approchés au moyen de séries qui indéfiniment prolongées sont divergentes.
Voici un intéressant exemple du calcul des intégrales de Fresnel. Une intégration par parties donne les formules :
d - 1 | à (2n —1) y i COS 5 D) v° RE vs sin 9 D + —
Ceci posé, on obtiendra de proche en proche :
No à [4 1.3.5. | J du cos ut =sin ot] 2 — + —...|
ce l 1.3 BÉSRUNS cos Fu] — = 4% + TV IT ee |
On vérifie que, pour des valeurs assez grandes de v, les termes des séries vont d’abord en décroissant, passent par un minimum, puis
croissent à nouveau. En effet, les termes généraux sont de la forme :
.(än— 1) 1 4.385: Gr +1)
2n + 1 ,,4n + 1 9 2n + 2 ysdn +3 T n) T af
Les rapports de deux termes consécutifs sont donc de la forme :
| (än + 1) : r°vt
Quelle que soit la valeur de 7r°v*‘, ils finissent par devenir supérieurs à l'unité quand n croît. Si r°v* est assez petit, les termes croissent à partir du premier.
Les séries sont donc certainement divergentes.
Mais cela n’a aucune importance : il s'agit en effet, non pas de représenter l'intégrale G de Fresnel par une série, mais bien d'en calculer la valeur. Ayant l'expression exacte du reste, nous savons ce que nous négligeons. Nous n'avons même pas besoin de connaître la valeur
DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE 315 exacte de l'intégrale contenue dans ce reste. Nous en avons une limite
, dv supérieure : [ FC :) Si v est assez grand, on obtient une excellente approximation en prenant les deux premiers termes de chaque série.
On trouve les mêmes séries pour calculer dv SIN 0°.
Dans le calcul des phénomènes de diffraction, 1l est avantageux de mettre les intégrales de Fresnel sous la forme :
”" Le RUE A = eo fes der +Msin Fo — N cos v”,
x 4 = T FE — sin = vw. dv— > — M cos — v° — N sin — v°. L à Là 2 2
Ces fonctions M et N sont fournies par les séries précédentes, quand le terme minimum est assez petit. On connaït des séries convergentes qui les représentent; mais elles sont moins commodes que les séries divergentes ici données. Une table des fonctions M et N se trouve à la fin du tome IV de notre Cours de Physique.
