CHAPITRE XIEE

FONCTIONS DEFINIES PAR UNE EQUATION DIFFERENTIELLE

273. Nature des équations différentielles. Équations du premier ordre. ( On appelle équation différentielle une relation entre la fonction y, la variable +, et un nombre quelconque de dérivées : ui ES der ne Rendons-nous compte de ce qu’expriment les équations différentielles.

1°. — Soit le faisceau de courbes :

[(x,y) à, (4) a est un paramètre, constant pour chaque courbe, qui varie d’une courbe à l’autre. Cherchons s'il n'existerait pas quelque propriété indépendante de la courbe considérée, par suite indépendante du paramètre 4. Différentions (1), en considérant a comme constant, ce qui revient à chercher une propriété définie par deux points voisins d’une courbe particulière du faisceau :

L’équation différentielle (2) exprime une relation entre +, y, et la pente de la courbe considérée, relation commune à toutes les courbes, puisque a est éliminé du résultat.

Par exemple, soit le faisceau des cercles :

(@— 20) + (y — yo) =R?.

Ils admettent tous pour centre le point de coordonnées #;, y. Différentions : (x —2,) dx + (y — y) dy —0.

Cette équation est obtenue en supposant R constant : elle est

valable pour une courbe du faisceau. Mais comme R n’y entre plus, elle est également valable pour toutes les courbes du faisceau. Elle

Ai FONCTIONS DÉFINIES PAR UNE £Q UA TION À: FRE 331

exprime que la normale passe par le point fixe de coordonnées ,, Yo- 2%. — A la vérité, nous supposons que la différentiation chasse immédiatement le paramètre. Dans le cas général, nous en sommes quittes pour une élimination supplémentaire.

Soit, par exemple (fig. 191), le faisceau de paraboles Ride admettant toutes Or pour axe, passant par l’origine O où elles sont D à

tangentes à Oy.

Différentions et éliminons p entre

l'équation donnée et l'équation obtenue :

Y*=zS2pY, ydy = pdx.

. 1] vient : A 0 dx 2x” (3)

qui exprime que les tangentes aux

points de même abscisse OA —#,

passent par le point A’ d’abscisse Pig 40t.

OA = — Le paramètre p a naturellement disparu de l'équation (3). 3° L'équation donnée peut contenir plusieurs paramètres.

Par exemple : y? = 2px + 4, (4) représente : soit un faisceau de paraboles identiques, mais ayant glissé l’une par rapport à l’autre parallèlement à Ox (p constant, q variable, faisceau 1); soit un faisceau de paraboles de même axe, de formes différentes, mais passant toutes par les points æ—0, y—=+qg (p variable, g constant, faisceau IT). Différentions :

ydy = pdr. (3)

L'équation (5) exprime une propriété commune à toutes les courbes du faisceau I; la pente de la tangente est la même pour les points de même ordonnée sur toutes les courbes du faisceau.

Pour avoir une propriété commune aux courbes du faisceau II, éliminons p entre (4) et (5) :

d ge = Doy + 2.

Il va de soi que nous ne pourrons éliminer à la fois que l'un des paramètres.

#. — Réciproquement, une équation différentielle du premier ordre (c'est-à-dire ne contenant que la dérivée première) :

Mx,y)dx + N(x,y)dy —0, exprime une relation entre la pente d'une courbe d’un faisceau et les coordonnées. Zntégrer cette équation, c’est chercher la fonction y de

LE JÉRREUR vas cours DE } MA (THÉMATIQUES GÉNÉRALES 1 ns ie Fa

x QUE; contenant un paramètre arbitraire, éproëfdire par différentia- LS tion et au besoin par élimination l'égaktion différentielle donnée.

274. Équation du second ordre, d'ordre supérieur. Intégrales particulières.

1°. — Reprenons le faisceau de paraboles :

y = 2px +. (1) En dérivant deux fois, nous obtenons :

dy p 18 RENE Lt y, À dy de. y? der TT Ye? de Ty de

Nous construisons ainsi une équation du second ordre, c'est-à-dire contenant une dérivée seconde. Les paramètres ont disparu : l’équation (2) exprime donc une propriété commune à toutes les paraboles qu'on peut obtenir en donnant des valeurs quelconques aux deux paramètres p et q.

2%. — Généralement, soit f(x,y,a, b)—0, une équation représentant une double infinité de courbes. Deux dérivations par rapport à æ donnent :

Of su Os dr

Br dy . de 20

df f dy dy dfrdu das M2 Drdy dr0dy D +R ECS 2) NE 2e de 0

Entre ces trois équations, éliminons & et b. Nous obtenons une équation différentielle du second ordre, exprimant une propriété

commune à la double infinité de courbes.

Réciproquement, soit une équation :

dy YA | (a: D ge) =0 (8)

L'intégrer, c’est chercher une fonction f{x,y,a,b)—0, contenant deux paramètres arbitraires et reproduisant (3) par dérivation et élimination.

3. — On peut trouver des fonctions qui reproduisent (3) par dérivation, mais qui ne contiennent qu'une constante arbitraire ou pas de constante. On les appelle intégrales particulières, par opposition avec les intégrales générales que nous avons définies. Ainsi l'équation (2) est satisfaite par les paraboles y?—2pr; mais ces courbes ne sont pas les seules auxquelles l'équation (2) convienne : elles constituent une intégrale particulière.

Cette notion d'intégrale particulière s'applique aussi aux équations du premier ordre. Par exemple : y?’—2>, est une solution particulière de l'équation (3) du paragraphe précédent. 4°. — Généralement, soit une fonction :

contenant x paramètres biiries Dérivons n fois. Entre (4) et les n équations obtenues, éliminons les n paramètres. Nous obtenons une équation différentielle du n°" ordre :

dy d'y\ o(ou de ……. 2) à . (5)

Inversement intégrer (5), c'est chercher une fonction (4) contenant n paramètres arbitraires et qui redonne (5) par dérivation et élimination. Toute fonction qui redonne (5), mais ne contient pas n paramètres arbitraires, s'applique à moins d'objets que (5) : c'est une intégrale particulière.

2°. — Voici un exemple que nous retrouverons souvent. Soit : y = À sin w (x — à). (6) On obtient par deux dérivations successives : d d? ; T7 — Av cos w (x — 2), __ — — Aw? sin © (7 — à) ; ER d dou ie TS + wy — 0. (T)

Les paramètres A et z ont disparu Donc (7) est une équation différentielle du second ordre dont (6) est l'intégrale générale.

Les fonctions : ;

Yy=sSno(r— 3), y—Asinor, y = Sin w?, (8) sont des intégrales particulières. Elles satisfont à (7), mais (7) convient à d’autres fonctions.

L'équation (7) représente le mouvement d'un mobile attiré par un centre fixe proportionnellement à la distance. Le mobile exécute des oscillations isochrones (période indépendante de l'amplitude) autour de sa position d'équilibre [mouvements (6) où x représente le temps, y la distance à l'origine considérée comme centre d'attraction]. Le problème mécanique comporte deux arbitraires : l'amplitude A de l’oscillation, sa phase + qui dépend de l'instant où le mobile est lancé. L'intégrale générale doit exprimer tous les mouvements possibles et, par suite, contenir ces deux paramètres à déterminer par les conditions imposées. Au contraire, dans les intégrales particulières (8), qui représentent des oscillations possibles, mais non toutes les oscillations possibles, un ou deux paramètres ont reçu des valeurs particulières.

Équations différentielles du premier ordre.