Séparation des variables

1°. — Une équation différentielle du premier ordre est une relation entre æ, y, et dy :dæ. On peut toujours la supposer mise sous

la forme : M{z,y)dr+N(x, y) dy —=0.

Si les termes en x et en y sont alors pate autrement dit, si l’on a : M (x) dx EN (y) dy —0,

se l'intégration est ramenée à des quadralures, c'est-à-dire à l’éva- Le luation de deux aires :

JL Mode + [N(y)dy —0.

Supposons l'intégration effectuée : on obtient : F(æ) — Fo) + (y) — Âge) = 0, F(æ) + f{y) =F(&0) + (yo) = GC

æ, et y, sont les valeurs de x et de y dont on impose la correspon- | dance. En effet, l'intégrale représente un faisceau de courbes ; on peut 2: déterminer une des courbes du faisceau, en lui imposant de passer par un point arbitrairement choisi. Précisément, x, et y, sont les coordonnées de ce point. Il revient au même d’ajouter une constante arbitraire : C—F(x,) + f{(y).

2%, __ La séparation s'effectue aisément quand M et N sont des fonctions homogènes et du même degré ($ 15) des variables x et y. On peut alors écrire :

M1, 2) de + N(1, 3 Jdy =0.

Posons : RES, dy — xdz+- :dx ; il vient : M2) de + N(z:) (xdz + zdx) — 0 ; dæ N (z)dz

3°. — Soit, par exemple :

RER T RS Leger :

dy — yde = de Va +, dy — Ldr—deW1+E,; du; da RUESR logæ — log|z+V1—+ 23? | + log C. | En effet, il est indifférent d'ajouter la constante arbitraire sous forme de logarithme. Passons des logarithmes aux nombres :

= Cf: F7].

ædz—-zdx— dx dx yi+2,

Revenons à la variable y :

: utiviret He æ= 0 SVT 2 ;

etenfin: æ—Cly+yz+y}, a?—2Cy+C.

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