EXEMPLE

Soit la droite : y—2ax—a, (4) qui dépend du paramètre à. Éliminons a entre (1) et sa dérivée : dy dy : RATS

vs SR 22, pe = 2 2 +Ve—y k (2)

L'équation différentielle (2) admet (1) comme intégrale générale. Cherchons l'enveloppe des droites (1). Il faut ($ 129) éliminer à entre (1) et la dérivée de (1) par rapport à a :

tree) Hp.

C’est une parabole. Elle satisfait à l'équation (2).

279. Solution graphique 96 l’équation linéaire : courbes isoclines.

1°. — On obtient la forme générale des courbes intégrales par la construction des courbes isoclines. Soit :

dy | de (y), (1)

l’équation différentielle. Construisons (ce qui n implique aucun tâtonnement) le faisceau des courbes :

C=f(e, y), (2) où C prend successivement toutes les valeurs de — oc à—oc. Ce sont respectivement les lieux des points pour lesquels les pentes des courbes intégrales sont les mêmes. Elles ont même inclinaison sur Or.

Soit 1, 2, 3..., des courbes isoclines consécutives. A partir d'un point À sur À, traçons un segment de droite faisant avec Ox l'angle caractéristique de la courbe 1. Arrêtons-le à peu près à égale distance de 14 et de 2. Changeons alors la pente : prenons celle qui correspond à 2. Traçons un segment de droite s’arrêtant à peu près à égale distance de 2 et de 3. Changeons alors la pente; prenons celle qui correspond à 3. Et ainsi de suite,

1} ÿ Li L

A partir de points À différents, on trace de la sorte des courbes d'autant plus exactes que les isoclines sont plus rapprochées ; elles fournissent au moins l'allure générale des courbes intégrales.

%, Sur chaque courbe isocline, il est intéressant de considérer le ou les points pour lesquels sa propre pente est égale à la pente caractéristique. Chaque courbe isocline correspondant à une valeur

constante de C, sa pente dy:dæx est fournie par les équations : | ù ù SEA À SE de + dy =0.

Ecrivons"la condition précédemment énoncée ; il vient :

d of Ô DC fes) pe Hat. 2

Remarquons que dy:dx représente ici la pente de la courbe isocline, tandis que dans l'équation (1), dy : dx représente la pente de la courbe intégrale.

Nous déterminons ainsi dans le plan une certaine courbe, qui est un lieu de points d’inflexion pour les courbes intégrales.

En effet, de part et d'autre du point de contact avec la courbe isocline considérée, la courbe intégrale coupe deux fois la même courbe isocline voisine ; donc sa pente a un maximum ou un minimum au point de tangence.

On étudiera sous ce rapport l'équation :

dont les courbes isoclines sont des cercles concentriques. La courbe des inflexions est :

en coordonnées polaires :

r—— cotg6.

3°. — Il peut exister des inflexions autre part que sur la courbe (2). 1 dy Soit, par exemple : Tr =? (æ —1).

Les courbes isoclines sont des droites parallèles à Oy ; la pente qui est oc pour æ——+ot, s'annule pour æ—0, x—1, et passe par un minimum pour æ—0,5. Les courbes intégrales ont toutes une inflexion sur la droite æ—0,5, à laquelle elles ne sont pas tangentes. Du reste, la courbe (2) est tout entière rejetée à l'infini.

#4, — Soit l'équation : cp Fra à

Les lignes isoclines y—2Cx, sont des droites passant par l’origine. Traçons-les, en indiquant les inclinaisons correspondantes : Cours de Mathématiques générales. — H. BOUASSE. 22

56 re dE Des Le Fe & ji | À He N L e he ; ; 7 ec, CS FONCTIONS DÉFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 337

nous obtenons aisément des courbes intégrales dont l'allure est celle des courbes de la figure 191. Effectivement ce sont des paraboles. Nous pouvons généraliser. Chaque fois que les isoclines sont des droites concourantes, les courbes intégrales sont homothétiques ($ 364) ; le point de concours est centre d’homothétie. 5°. — Soit l'équation différentielle :

ag 2R { ART CN Va | dy Pr.

On a : de =: LPC

Les courbes isoclines sont des horizontales. Pour C— +0, y —0; donc l’axe Ox est le lieu des rebroussements avec tangente verticale. Les courbes intégrales sont symétriques par rapport à la tangente de rebroussement, puisque toute courbe isocline y—y,, correspond à deux valeurs égales et de signes contraires de la pente.

La pente est nulle pour y—2kR.

Traçant les courbes intégrales sur ces données, on retrouve, sinon la solution exacte Gone $ 100), du moins des courbes de même allure.