Intégrale le long d’un contour

1°. — Soit la différentielle dQ, définie par la relation (fig. 192) : dQ = Mdr + Ndy.

M et N sont des fonctions de x et de y considérées comme variables indépendantes. Allons du point À au point voisin A,. Les accroissements Az, Ay, sont bien déterminés; sur tout l'élément AA,;, les

fonctions M et N conservent sensiblement la valeur qu’elles ont en A:

donc l'accroissement AQ est bien déterminé.

Il est rigoureusement calculable quand Ar et Ay deviennent des différentielles.

Pour aller d’un point A duplan , à un autre point B, imposons une trajectoire AEB. C'est dire que les coordonnées x et y cessent C d'être indépendantes; elles sont reliées, par exemple, au moyen de la variable auxiliaire f : p

—=q{(t), y—Yt); 2 dQ—=Mo'dt + Nydt, de sé fao— p (M9 + Ny)dr: 0 2

Fig. 192.

t, et £, sont les valeurs de { pour pe les points A et B. La valeur de Q s'obtient par une quadrature,

portant sur des fonctions de {; on effectue par une intégration le long du contour AEB.

Mais (c’est là que nous en voulons venir), fa dépend non seu-

lement des points A et B extrémités du parcours, mais généralement de la trajectoire choisie. Montrons-le sur un exemple.

D, — Soit :

dQ = rdy — ydr.

Les coordonnées de A sont x,,y,; les coordonnées de B sont La, Ve.

Évaluons | 4Q pour le parcours ADB.

Suivant AD, faQ=— y, far =—yie 2).

puisque dy est identiquement nul.

Suivant BD, Î dQ—x, Î dy = za; — y),

puisque dx est identiquement nul.

Pour le parcours entier :

fdQ=—w(x Ve — Li) ) + (Ye — Yi) = YaT1 + Yates — 27y.

. Évaluons de même £ dQ pour le parcours AC. On trouve :

faQ— x (y à — Yi) — YalTs — 2%) = — YU — Yael + 272.

Enfin évaluons [aa pour le parcours AB. Posons donc : y —= ax + b, dy = adx.

faQ=—2 far =— br —2).

Il ne reste plus qu'à déterminer b, en écrivant que la droite passe par les points À et B. On trouve une troisième valeur de [ dQ dif-

férente des deux autres.