Différentielle exacte

Ainsi quand on passe d’un point à l’autre du plan, [aa a géné-

ralement une infinité de valeurs; à chaque trajectoire en correspond une. D'où la question : peut-il arriver que la valeur soit unique et indépendante de la trajectoire?

Pour cela, 1l faut évidemment que Q soit (à une constante additive près) une fonction bien déterminée des variables x, y; il faut

qu’on ait :

Menons par le point quelconque P une droite perpendiculaire au plan æ0y. Portons dessus une longueur représentative de Q, calculée après avoir choisi une valeur arbitraire de la constante Q,. Dans l'hypothèse (1), Q est représenté par une surface. En modifiant Q,, on obtient un faisceau de surfaces qui résultent du glissement de l’une quelconque d’entre elles, d’une longueur quelconque, perpendiculairement au plan x0y.

Quand on passe du point À au point B, Q varie de Q, à Q, :

Qi —=Q + f(x, Yi); Q: = Q5 + f(rs, Ya); Q: —Q, = f(as, Ya) — f(x, do): La constante Q, a disparu.

Mais si Q satisfait à l'équation (1), on doit avoir :

0Q dQ 0Q dQ RE og ; M=-— ; Toy > < . 0?) HAE 0 3 d°?Q L « ë M PRicR ÔN

Ainsi les fonctions M et N ne sont plus arbitraires; elles doivent satisfaire à la relation (2). On dit que dQ est une différentielle exacte. REMARQUE.

Fe 0Q dQ

Les notations Di à? impliquent que Q satisfasse à l’équa-

tion (1), c’est-à-dire soit une fonction bien déterminée des variables

| indépendantes MP R en Thermodynamique, les physiciens sont accoutumés à écrire :

dQ — dz+ dy, (3)

alors même qu'ils savent Fr que dQ (représentant la chaleur absorbée par un système dont l’éfal est déterminé par les variables x, y, et la variation d'état par les différentielles dx, dy) n'est pas une différentielle exacte. Cela n'a aucun inconvénient pourvu qu'on soit prévenu. L'avantage de la notation (3) est de soulager la mémoire. Par exemple, ÔdQ:Ôx représente ni plus ni moins le coefficient de dx dans l'équation (3); c'est une fonction bien déterminée de x et de y. Naturellement ce serait une faute grossière

de poser : db oc:

puisque Q n'est plus une fonction bien déterminée de x et de y.