Facteur intégrant

1°. — Soit : dQ — Mdr + Ndy,

une différentielle que nous savons ne pas être exacte : la relation (2) n'est pas satisfaite. Nous allons montrer qu'il existe une fonction

I(x, y), telle que : dS — IdQ,

soit une différentielle exacte.

En effet, soit : F(x, y)— Constante —C, l'intégrale générale de l rate ee Ndy — 0.

dF FPS des dy A x HER dF LOF par pue - M : ()= N : (3) ;

Ces rapports égaux sont une certaine fonction 1:I{xr, y), de x et de y; de sorte qu'on a :

dF dF M(x, y). (x, Y) =: N(x, y). I(x, V3 lei Ta La différentielle : IdQ—(MI)dx-+-(Nl)dy, est donc exacte.

2. — Une fois trouvé un facteur intégrant I, on en obtient aisément une infinité d’autres.

En effet, si dS —1(Mdx + Ndy),

est une différentielle exacte, il en est évidemment de même pour : p(S)dS = Io(S) (Mdr +- Ndy).

Donc IofS) est un facteur intégrant, quelle que soit 0.