RACINES RÉELLES ET INÉGALES

Si les racines r, et r, sont réelles et inégales, nous avons l'intégrale générale sous la forme :

y —= Ae'* + Be”, (3) qui contient deux constantes arbitraires.

Les constantes sont déterminées par les conditions initiales. Dans la pratique, æ représente le plus souvent le temps, y la position d’un mobile, dy:dx sa vitesse, d?y : dx? son accélération. Pour déterminer les constantes, on pose habituellement que pour æ—Ù (origine des temps, début de l'expérience), le mobile a une position y, et une vitesse v,. D'où les conditions : |

Yo —= À + B, vo = riAÀ + r,B.

Si, d’après la nature du problème, y ne peut croître indéfiniment, on doit annuler la constante d'intégration qui correspond à une racine réelle positive. Il est alors impossible de se donner deux conditions initiales arbitraires.

4. — Si les racines sont imaginaires (ce qui implique b>=>0), on doit les grouper de manière à faire apparaître des fonctions réelles. Les coefficients a et h étant réels, les racines sont conjuguées :

r,— a + fi, r,—= a — $i; B—Vb— a.

Ae®— Ae“(cosBr—isinpr), Be— Be“ (cos fx — isin fx y —=e"*[(A + B) cos 6r—+i(A—B) sin £x|.

Posons : A—+B—P, iüA—B)—Q; :il vient:

y —=e"* (P cos 8x + Q sin 6x) —e*M cos (Br — y). On vérifiera par substitution directe que ces solutions conviennent.

Ordinairement on a a <<0 : l'intégrale représente un mouvement sinusoïdal amorti, d'amplitude M, de phase uw, de période $:2r

D°. — Pour que le mouvement périodique soit permanent, le terme amortissant e” doit se D'où les conditions : a—0, b>0.

L'équation :

a donc pour intégrale + l'une ou l’autre forme : y —P cos zh +Qsinxrvh, y =M cos (rh — »).

6°. — Ce qui précède se généralise immédiatement pour une équation linéaire à coefficients constants d'ordre quelconque. On substitue la fonction y—Ae”: c'est une intégrale si r est racine d’une équation dont le degré est égal à l’ordre de l'équation différentielle proposée. Toute racine réelle donne une exponentielle; le système de deux racines imaginaires conjuguées donne un terme sinusoïdal amorti ou non amorti.