Cas des racines multiples

1°. — Si les racines de l'équation (2) sont égales, on a b—a° : y. 9, 4 TE — 2a 7 + 2y = 0. (4) La solution (3) devient :

y =(A + Bje. (5).

L'intégrale (5) n’a plus la généralité requise; elle ne contient réellement qu'une constante arbitraire A +B.

Mais on vérifiera par substitution que (4) est satisfaite pour :

y = e"(A + Bx).

2. — La proposition est générale. Si l’équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire, sans second membre, à coefficients constants, a une racine r d'ordre m, elle admet l'intégrale :

y = €" (A + Br +... + Er").

La démonstration se fait par substitution, en s'appuyant sur le théorème du $ 43 : quand un polynôme admet une racine d'ordre m, sa dérivée l’admet d'ordre m—1, sa dérivée seconde l’admet d'ordre m — 2,

Nous conseillons au lecteur de faire le calcul complet pour une

équation de troisième ordre dont l'équation caractéristique est sup- Les avoir une racine triple.