Équation du quatrième ordre

On rencontre fréquemment en Physique l'équation :

Le lecteur se reportera au $ 227, où sont étudiées les équations

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* binômes. L'équation caractéristique r—b, rentre dans ce type.

Elle admet les quatre racines :

+ D, D, — Du, Los DE.

Groupant convenablement les exponentielles e”, e-*, on met la solution sous la forme :

y = À cos br + B sin br + C cosh br + D sinh br.

L intégrale générale contient quatre constantes arbitraires qui seront déterminées, par exemple, au moyen des valeurs de deux des dérivées :

dy dy d'y

dx ? dx? ? dx ?

par at << tk

Dans la Théorie de l'Élasticité, cette équation sert à l'étude des vibrations des verges vibrantes; / est la longueur de la verge.

286. Équation du second ordre avec second membre exponentiel. à

or. dr d' 1°. — Soit l'équation : TE — 2a + —- by = Aet?, (4)

Il faut ajouter, à l'intégrale générale de l'équation privée de second membre (qui aura les deux constantes ‘arbitraires nécessaires), une intégrale particulière n'ayant aucune arbitraire et faisant simplement disparaître le second membre. Essayons l'expression :

Ya bent:

substituons dans (1). Il vient la condition : B(w° — 2av + b) — A. (2) 2%. — La condition (2) est illusoire quand w est racine de l'équation

caractéristique, par exemple quand on a simultanément :

hat, ot b—0, dy À c:

Étudions donc l'équation : ds = y = AE.

On vérifie aisément qu'elle admet l'intégrale particulière : Ar. :

= se .

Les solutions sont semblables dans le cas où w est négatif.

Connaissant les relations ($ 230) entre les exponentielles imaginaires et les arcs, nous pourrions déduire de ce qui précède les résultats relatifs au second membre sinusoïdal: il est préférable de reprendre la question,