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346 COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES 287. Équation du second ordre avec second membre sinusoïdal.

Soit à intégrer l'équation :

— 2a GE by = A sin wa. (4) f°. — Montrons qu'il existe une intégrale particuhère de la forme : À sin £ + RU OPEANE: FE:

AE sin (ox — e).

Substituons (2) dans (1) :

&w? sin € sin (6% — <) + 2aw sin : cos (wx — :) — b sin e sin(or —e)

ras 2aw sin or.

Prenons comme nouvelle variable 3— x —: :

w? sin € sin 3 - 2aw sin & cos 3 — b sin e sin z — 2aw sin (z + &). Cette équation devant être identiquement satisfaite, développons sin (z2—:);

:); égalons dans les deux membres les coefficients de sin z et de cos z. D'où les conditions :

(@?— h)sn:—2acose, 2a sin : — 2a sine.

La seconde est une identité. La première donne

2a BE RUES D (3) 2. — L'intégrale générale se compose donc de l'intégrale de l'équation (1) privée de second membre {solution amortie), à laquelle

on ajoute l'intégrale particulière (2) (solution permanente)

y —e*M cos (Bœ— pu) — TRE sin (o7 — :). (4)

En effet, (4) contient deux constantes arbitraires M et u, et satisfait évidemment à l'équation (1), puisque l'intégrale particulière fait disparaître le second membre.

3°. — Cas où a—0. |

Supposons 4—0; la solution particulière semble indéterminée. Mais faisons a très petit ;

: étant très petit, on a :

D ns A1.

quantité qui est indépendante de :. Donc pour ed, il vient :

y — Put sin OT,

#. — La solution précédente ne vaut plus si b—w°. C'est dire que la période de l'intégrale générale de l'équation (1), privée du

Le che es

second membre, est précisément égale à la période du second membre.

Dans ce cas, on trouve une solution particulière indéfiniment croissante :

Yy—=— -;— 2% COS 6T.

F ti)

288. Intégrales particulières de l’équation du second ordre compliquée de termes petits. Équation des sons résultants.

Jusqu'à présent les intégrales des équations étudiées s exprimaient rigoureusement au moyen des fonctions usuelles. .Il n’en est généralement pas ainsi. Quelquefois l'intégration approchée n'est possible qu’en vertu de la petitesse des termes qui compliquent l'équation différentielle simple.

Voici un exemple où l’on ne désire qu'une solution particulière permanente approchée : nous y trouverons un développement en série par approximations successives.

Soit à intégrer l’équation :

he tete dre 10

Si le coefficient c était nul, nous calculerions exactement l'intégrale particulière qui correspond au phénomène périodique permanent, en opérant comme au paragraphe précédent. Nous supposerons que le coefficient c est petit.

Développons la solution en série par rapport à un paramètre auxiliaire €.

Posons: y—:y, +eys Ley, + ...; P—c:P,, Q—:Q,. (2

Substituons dans (1); égalons séparément à 0 les coefficients des diverses puissances de :. Nous faisons ainsi une série d’approximations.

Comme première approximation, nous avons :

a + by, + Pi sin 2rpr + Q, sin (2rqgx + à) —0. (3)

Elle ste à négliger le terme en y°. Nous savons que l'intégrale permanente correspondante ($ 287) est la somme de deux fonctions

périodiques de fréquences p et g. Cela veut dire que chaque terme de

la solution reprend respectivement la même valeur quand x croît d'un nombre entier de fois 1:p, ou 1:qg. L'équation différentielle approchée étant linéaire, il y a superposition pure et simple des effets des deux causes représentées par les deux termes périodiques.

La seconde approximation donne :

dy:

TE + by: + cyi =. (4)

Il faut introduire à la place de y, l'intégrale précédemment trouvée dont la partie permanente est de la forme :

y = P, sin 2rpx + Q! sin (2rq: +3).

Développons les carrés des sinus et leurs produits. Nous aurons y? en fonction de :

sin2r(2p}r, sin2r(2q)x, sin2r(p—q)x, sin 2r(p—+q}x

Substituons dans (4); nous retombons sur une équation de la forme (2). Elle nous apprend que, comme seconde approximation, le mouvement est la somme de fonctions périodiques de fréquences 2p, 2q (harmoniques des fréquences p et q), p—q, pq (fréquences des sons résultants différentiel et additionnel).

Naturellement si les causes sont faibles, les amplitudes des harmoniques et des sons résultants sont petites; mais elles croissent vite quand les causes augmentent d'intensité.

La troisième approximation donne :

dy; pre + by + 2ayiy: — 0.

Nous n'avons qu à répéter les raisonnements et les calculs précédents pour prouver l'existence, dans la partie permanente de l’intégrale, de fonctions périodiques. de fréquences :

Il va de soi que si P ou Q sont nuls, il ne reste que les harmoniques 29, 3q,..., ou 2p, 3p,..…. de ta ‘cause qui subsiste.

Le phénomène qu'interprète cette théorie est celui des sons résultants. Quand deux sons d’intensités suffisantes agissent simultanément sur un résonateur dyssymétrique (par exemple, l'oreille), on entend non seulement ces sons, mais leurs harmoniques et leurs sons résultants. Le premier différentiel est particulièrement facile à distinguer.

289. Équation du second ordre où le coefficient de la dérivée première est variable. Remarques sur les résultats précédents.

Soit à intégrer eo :