Application des séries de Taylor ou de Maclaurin

1°. — Considérons d’abord une équation du premier ordre :

Il est clair que pour toute valeur de x et de y, nous connaissons dy : dæ. Mais nous pouvons aussi calculer toutes les autres dérivées. On a, en effet :

du. Of Of Au ::; df

A De V0 de de Cl dj!

et ainsi de suite. Puisque l'intégrale OU une constante arbitraire; autrement dit, puisque la seule condition à satisfaire est exprimée par l'équation (1), on peut choisir la valeur de y pour une valeur de x, par exemple pour æ—0 ($ 275, 1°.

2%. — Soit connue la fonction y—o(x), intégrale de l'équation (1). Développons-la par la formule de Maclaurin. On a :

y —=(x) = 9(0) + pr ?{0 }+ 57 9 (0) +.

Or nous pouvons calculer toutes les dérivées de la fonction o(x), par suite leurs valeurs pour x—0; donc nous connaissons tous

les coefficients du développement en série. Il peut servir à calculer les valeurs de y pour toutes les valeurs de x qui laisseront la série convergente. La constante arbitraire est o(0).

3°. — Ce que nous venons de dire s'applique à une équation différentielle quelconque d'ordre quelconque. Soit :

Gi a SRE dy dy TE (e, LIFE pue es er)

Par dérivations successives nous pouvons calculer les dérivées d'un ordre quelconque supérieur à n. Elles seront toutes connues, par exemple pour æ—0, à la condition de choisir arbitrairement la valeur de y et de ses n—1 premières dérivées pour æ—0; ce sont les constantes arbitraires d'intégration.

On pourra donc obtenir tous les coefficients de la série :

sauf les n premiers qui, par leur indétermination, donnent à la solution la généralité nécessaire.

3°. — Si, pour æ—0, les dérivées à partir d’un ordre quelconque deviennent infinies, on emploie le développement de Taylor ($ 254) en remplaçant À par æ— a, x par a, conséquemment æ<+h par x:

T—@ , xz—a) , y—= oz) = og) + pt) HER 5] p'(a) +.

D'après la façon mêmé dont nous opérons, la série qu'on obtient

est précisément cellé qu'on obtiendrait en partant de l'intégrale générale supposée connue qu'on développerait par la formule de Taylor.