Exemples

Retrouvons par développement en série quelques résullats connus. dy 1

1°. — Soit à intégrer l'équation: =. (4) O : AR, RS 1 RER ME - po 1,29 na. 7 Te. AP y ne me Re x ? ASS x Ù

Toutes les dérivées deviennent infinies pour z—0; développons donc à partir d'une autre valeur de x, par exemple x—1. On a: | xæ—1 (x —1} 2!(æ—1} 3!(æ—1)

p(æ) = o(1) + 210 -J1 fe 31 gs 41 hs

A la place de x, prenons æ— 1 comme nouvelle variable ; remplaçons done æ par æ—<1. Posons o(1) qui est arbitraire, égal à 0. La fonction qui (dans ces conditions) satisfait à l'équation différentielle (1), est donc :

sante

: [FONCTIONS DÉFINIES } PAR UNE ob TION noue 351

Il nous est loisible de Vitoler logarithme naturel de Lx ($ 256). | 2%, — Soit à pins l'équation :

Y—=—Y, = Y = y EU Y=Y —=—Y, et ainsi de suite. Naturellement y et y' restent arbitraires pour une valeur arbitraire de æ. Le développement en série est :

LE: , æ CE œ* | y=Q90) +590) —55 90) — 379 (0) +5 (0) +

Posons : o(0)—0, (0) = 1. Je définis ainsi une fonction qui satisfait à l'équation (2) et qu'il m'est loisible d'appeler sin x :

À rt —

Posons : 9(0)=—1, (0)—0. Je définis ainsi une fonction qui satisfait à l'équation (2) et qu'il m'est loisible d’appeler cos x :

sin x —

æ? T° a Aer AQU 9 Drm

Je retrouve les résultats connus ( 251).