Intégration des séries

1°. — Soit une série dont les termes sont fonction d’une variable æ et qui est convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites x, et æ,. Il s’agit de montrer que la série des intégrales de ses termes, prises entre les limites x, et x,, est conver-

gente et a pour somme l'intégrale de la somme de la série proposée prise entre les mêmes limites.

Soit en effet: f(x)—=u,+u,+...—+Lu,+R,.

Puisque la série est convergente entre les limites x, et x,, le reste ($ 254) R, est infiniment petit quand n croît indéfiniment.

Intégrons :

f'fte)dr=f'udet.…. + (Ride.

Tant que le nombre des termes reste fini, il n’y a pas de doute sur la légitimité de cette expression ($ 153, 4). Cherchons ce qui arrive quand on suppose le nombre des termes croissant indéfiniment.

L'intégrale , R, dx est égale au produit de x,— x, parla valeur 8 8 P P

moyenne de R—R [(æo +0 (0 —21.)] ($ 155); elle est, par suite, infiniment petite quand n croît indéfiniment : d'où la proposition énoncée. |

2°. — La réciproque n’est pas vraie. Une série peut être convergente, et la série des dérivées de ses termes ne l'être pas.

Par exemple, la série :

cos x cos 2x cos nX

est convergente pour toute valeur de x: la série :

— (sin æ + sin 2r +... sin nr...) n'est convergente pour aucune valeur de x.

Mais on démontre que si La série des dérivées des termes du développement de f(x) est convergente, elle a pour somme la dérivée fe}. Nous n'insisterons pas sur la démonstration.

3°. — Il résulte du 1° un procédé d'intégration. Soit à intégrer :

[rez

Développons f(x) en une série convergente : nous obtiendrons l’intégrale en sommant les termes de la série entre les mêmes limites.