Soit à intégrer
s À e dx, a On a ($ 256) :
ee T°? x x .
RP TPM SRE TE Ne Sa - SARA à À LS se OR TT ITS os on 3°. — Soit à intégrer td nes log T | Prenons pour nouvelle variable :
t— log r,
ft) =
FC -+ fesses .
| C + log (log &) + log & + (Hg et
| (log x} DD + 3
#4] 295. Méthode des coefficients indéterminés.
1°. — Si la fonction définie par une équation différentielle peut se développer en une série suivant les puissances négatives ou fraction- ?
naires de la variable, on obtient le développement par la méthode
ro = [ £ dt RER )
4 em à à
ne
des coefficients indéterminés, plus commode que celle du $ 290
Elle consiste à substituer dans l’équation différentielle la série
y = Az + Brf + Cxv +
et à déterminer les coefficients À, B
SA RS manière à rendre identique l'équation obtenue
et les exposants &, 6, 2. — Prenons comme exemple l'équation
dy
Re eee à ms AAA, La substitution donne
Aal(a—1A}r2—22 BB(È—1)r8 —?2+..
Nous supposons que les A,B
il est seul de son degré.
Il faut donc poser +
alta — | ) me D:
Deux solutions possibles :
(3) a—=0, nt L:
Prenons la première : 4—0.
Le second terme ne péut pas être
. = kAgatn LE kBr8+n +.
ne sont pas nuls petit exposant, le terme de moindre degré est certainement le premier
x étant le plus
seul de son degré; sinon nous retomberions sur la condition (3). Nous devons donc poser :
B—2—a+n, G—=atn+-2—n+)2,
dans l'hypothèse x—0: et aussi :
Bale ct ta D La
Pour la même raison que plus haut, nous avons : y—2—8$+n, y=Éé+n+2=a+t2(n+2), Chr) 248 7 (2n+38)(2n+4) (n+i(n+2)(2n+3)(2n +4):
Et ainsi de suite, la loi est évidente. D'où la série : ?
: key +? | k22°" * A A £ + (nH1)(n+2) ae (nE1)(n+2)(2n+3)(2n +4) we |
Nous pouvons recommencer dans l'hypothèse : 3—1. On trouve :
kx" +2 kr?" + 4 ALI que) € ne Den) + | Nous obtenons ainsi deux solutions particulières de l'équation (2). Comme elle est du second ordre, nous avons l'intégrale générale en les additionnant : À, et A, sont les constantes arbitraires.
3. — Si n est positif et entier, les développements suivant les puissances positives coïncident avec ceux que donnerait la formule de Maclaurin. Si n est entier et négatif, l'une au moins des séries n'est plus acceptable, puisque certains termes deviennent infinis.
Pour n——1 la première est inacceptable, la seconde subsiste ; donc la méthode ne fournit qu'une intégrale particulière.
Ë Pour n—1, k——1, on retrouve l'intégrale générale du f° - du S 292. Pour n—0, k——1, on retrouve sinx et cosæ.
296. Équation de Riccati et ses transformées. 1°. — On appelle équation de Riccati l'équation :
3 y + qy = hx". (4)
On peut lui donner une série de formes qui se rencontrent en Physique et en Mécanique. Posons :
logu=g fydr, IY—= RE dr Calculons la dérivée dy: dx et substituons dans (1). On trouve :
?2u = gauz. (2)
2%. — Considérons l'équation :
d?z m(m— 1) FE CRRE Fig ESA, (3) Posons : z—x"v. Nous obtenons comme transformée : dv 2m dv | dx? su 7 NPA (4) Nous aboutissons à un cas particulier de l’équation de Bessel. 3°. — Mais nous pouvons ramener l'équation (2) à la forme (4),
par suite l'équation de Riccati à l'équation de Bessel. Dans (2) changeons la variable. Nous appliquerons donc les formules du $& 20.
Soit { la nouvelle variable. On a :
du =| dx du | $ (% )
des | dû dt de dû |\df.
Posons sa": "on 2:
de 24 IR CN DR Lis dt (n+2)x"*'? dé" =" (n+2} zx"*?
Substituons dans (2); il vient :
d'u n:-+:du 4 à (AS Re D Ta LT PE STE (3)
qui, à la notation près, est l'équation (2) du K 292.
Équations différentielles simultanées.
297. Équations différentielles simultanées linéaires à coefficients constants.
Expliquons le problème sur des exemples simples. 1°. — Soit les équations :
dx de tart-py—0,
d + qu + by 0,
où 4, b,p,q, sont des constantes, Il s'agit de trouver des fonctions x({), y(£) qui, substituées dans ces équations, les transforment en des identités. Essayons la solution :
em; gr Rber.
Nous obtenons les deux conditions : ; Ar—aA+pB—0, -Br-+qA+bB—0. (4) Eliminons r : Hp
A(qA + bB)— B{aA pB), : gA®—(b—2)AB—pB°—0. (2)
| FONCTIONS DÉFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 351 Nous déterminons ainsi deux valeurs 4, et k, du rapport B : A.
Transportons-les successivement dans l’une ou l'autre des équations (1) qui sont assurément compatibles : nous tirons pour r deux
valeurs correspondantes, r, et r..
L'intégrale générale prend la forme :
x — Aje" + Ase’*, y = k,A,e"t —L k,A,e":.
Il y a deux constantes arbitraires A,, A. Les paramètres ,, k;, ri, 23 Sont complètement déterminés par les équations (1) et (2).
D Reprenons sur un cas plus compliqué.
d2x Je + ex +py —0, dy
Essayons encore la solution :
pv A6, ER » A Nous obtenons les deux conditions :
Ar aA—pB—0, 4) Br? qA + bB—0.
Éliminons r, il vient :
A(qA + bB)—B(aA + pB), qA?—+(b—a)AB—pB:—0. (2) D'où deux valeurs k, et k, du rapport B:A. Transportons-les successivement dans l’une ou l’autre des équations (1) : nous déterminons pour r quatre valeurs æ+7r,, —r, L'intégrale générale prend la forme :
x — (A,e’# + Aie") H (A,e’s# LE Ase-"s), y = k(A,e’ Aïe") L (Aer Aer), Il y a quatre constantes arbitraires qui sont A,, A, A,, A:. S1 les racines sont imaginaires, la solution s'écrit : x — À, sin (of — «) + À, sin (œst — 4), y — k,A, sin (ot VER. “) + ks A, sin (ot panrgns La). É Les quatre constantes arbitraires sont maintenant AÀ,, À:, &, %. . Les paramètres 6,, w:, k,, &,, sont complètement déterminés par les équations (1) et (2). | | 298. Séparation des variables.
1°. — Théoriquement il est toujours possible de séparer les variables, Soient données les équations :
PR Rage y. …. g'}—=0, Had, day yS y", … y*)—0
Dérivons par rapport à { la première » fois, la conte. n fois. Nous obtenons en tout n—+,+2 équations où éntrent les n+y+LlI quantités y, y’, .… y" TY. Leur élimination laisse une équation différentielle en x et {, dont l’ordre ne peut surpasser, mais égale généralement le plus grand des nombres m<+Y, n +.
2%. — Appliquons aux exemples précédents. On a : da di a + er +py = 0, A ee dx % —
de Ta TP tqs Frs +
On tire 46 des trois premières ne À de +4 D pqr — bpy —0,
dx dx c ; de +te+b) 7 + (ab — px —0.
L'intégrale générale de cette équation contient deux constantes arbitraires : pour une valeur arbitraire de la variable £, je peux choisir æ et x’. Les valeurs de y, y', y” sont alors complètement déterminées : y par la première équation, y par la seconde ou la troi- -sième, y” par la quatrième. On peut aussi bien obtenir l'équation en y :
da + (e +2) S + (ab — pg)y = 0.
C'est la même, puisque l A caractéristique ($ 283) doit four-
nir les mêmes racines r, et 7.
Ur, dr du:
3°. — On a : Te + a + py —0, Te + qa + by —0.
Dérivons deux fois la première :
d'x dx dy api ar FTP dr
Utilisons les deux premières pour éliminer la variable y :
d'x dx A + UE HD 8 +=
TE + (ab — pg)y = 0.
L'équation tr en est bicarrée : elle donnera immédiatement les quatre racines +r,, —+r.
-et aussi bien :
299. Remarques sur les équations différentielles simultanées.
F". Ainsi les intégrales du système de deux équations simulta-
nées di premier ordre snteineut deux constantes arbitraires ; celles
| FONCTIONS DÉFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 359. du système de deux équations du second en contiennent quatre. On verra que les problèmes de Mécanique se ramènent généralement à | trois équations simultanées du second ordre, reliant les composantes de l’accélération du mobile parallèlement aux axes à la somme des composantes des forces suivant les mêmes axes. En général, les intégrales contiennent six constantes arbitraires qui permettent d'imposer à une époque donnée la position du mobile et sa vitesse.
Nous né démontrerons pas la proposition générale dont voici l'énoncé : le nombre, des constantes arbitraires est au plus égal à la somme des ordres les plus élevés de toutes les variables.
2%. — Par exemple, considérons le système :
da CE + ax + py = 0,
Te + by + gs = 0,
Essayons la solution: 2 A6". y=—=bBe", ‘3— Ce”. On a pour conditions :
Afr—+a)+pB—0, B(r+b)+qC=—=0, Cr+c)+sA—=0. (1)
Convenablement écrites et multipliées membre à membre, ces équations donnent :
| À (ra) (r+b) (re) + pgs 0, (2)
équation du troisième degré en r. À chacune des trois racines 7,,r;,,r, correspondent des rapports bien déterminés :
RS RSR ERREURS Me Ms CTA. EL Les intégrales générales sont :
x = Aie Ae’s LL Aer, ne y = k,A,e"!— k,Ase': — k,A.e"*, : 3 = giAset EL gAe"—L gsAse*.
